Question

Докажите:3^777+7^333 на конце 0. 

Answer 1

$=(3^7)^{111}+(7^3)^{111}=2187^{111}+343^{111}= \\ = (2187+343)(2187^{110}-2187^{109}*343+2187^{108}*343^2-... \\ +2187*343^{109}-2187^2*343^{108}+343^{110})= \\ = 2530*(2187+343)(2187^{110}-2187^{109}*343+2187^{108}*343^2-... \\ +2187*343^{109}-2187^2*343^{108}+343^{110})$

2530 один из множителей кратен 10, значит и все произведение кратно 10.
Кратно 10 - значит на конце числа 0.

Answer 2

Для доказательства того, что число 3^777 + 7^333 заканчивается на 0, нужно показать, что оно делится на 10. Для этого мы можем использовать китайскую теорему об остатках.

Поскольку 3^777 заканчивается на 1 (поскольку 3^4 заканчивается на 1, то 3^777 = (3^4)^194 * 3 заканчивается на 1), а 7^333 заканчивается на 7, то мы можем записать:

3^777 + 7^333 ≡ 1 + 7 ≡ 8 (mod 10)

То есть, 3^777 + 7^333 имеет остаток 8 при делении на 10. Однако мы знаем, что это число заканчивается на 0. Как же это возможно?

Это возможно, потому что 3^777 + 7^333 также делится на 2 и на 5. Действительно, 7^333 всегда делится на 5, а 3^777 делится на 2^777. Таким образом, мы можем записать:

3^777 + 7^333 ≡ 0 (mod 2) 3^777 + 7^333 ≡ 0 (mod 5)

Используя китайскую теорему об остатках, мы можем объединить эти два уравнения и записать:

3^777 + 7^333 ≡ 0 (mod 10)

Это означает, что 3^777 + 7^333 действительно заканчивается на 0, что и требовалось доказать.