Question

Решите пожалуйста с подробностями   2(sinx+cosx)+sin2x+1=0   2sinx*cosx+cos2x-1-sinx=0      sin^4x+cos^4x=1

Answer 1

1)2(sinx+cosx)+sin2x+1=0
2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)²=0
(sinx+cosx)(2+sinx+cosx)=0
sinx+cosx=0
sinx+sin(π/2-x)=0
2sinπ/4cos(x-π/4)=0⇒cos(x-π/4=0⇒x-π/4=π/2+πn⇒x=3π/4+πn
2+sinx+cosx=0
2+2sinπ/4cos(x-π/4)=0
2+√2cos(x-π/4)=0⇒cos(x-π/4)=-√2∉[-1;1]-нет решения
2)2sinxcosx+cos2x-1=0
2sinxcosx-2sin²x=0 /2cos²x≠0
tg²x-tgx=0
tgx(tgx-1)=0
tgx=0⇒x=πn
tgx=1⇒x=π/4+πn
3)sin^4 x+cos^4 x=1
(1-cos2x)²/4+(1+cos2x)²/4=1
1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=4
cos²2x=1
1+cos4x=2⇒cos4x=1⇒4x=2πn⇒x=πn/2

Answer 2

1. Решение уравнения 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0:

Начнем с упрощения уравнения: 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0 2sinx + 2cosx + 2sinxcosx + 1 + sin2x = 0 2(sin x + cos x) + 2sin x cos x + sin 2x + 1 = 0 2(sin x + cos x) + sin 2x + 2sin x cos x + 1 = 0 (sin x + cos x)^2 + sin^2 x + cos^2 x + 2sin x cos x = 0 (sin x + cos x)^2 + sin 2x + 1 = 0 (sin x + cos x)^2 = -sin 2x - 1

Так как квадрат не может быть отрицательным числом, то это уравнение не имеет решений.

2. Решение уравнения 2sinx cosx + cos2x - 1 - sinx = 0:

Начнем с упрощения уравнения: 2sinx cosx + cos2x - 1 - sinx = 0 2sinx cosx + cos^2 x - sin^2 x - 1 - sinx = 0 2sinx cosx + (cos x - sin x)(cos x + sin x) - (sin x + 1)(sin x - 1) = 0 2sinx cosx + (cos x - sin x)(cos x + sin x) - sin x - 1 = 0

Мы можем заменить sin x + cos x на sqrt(2) * sin(x + π/4), чтобы упростить выражение: 2sinx cosx + (cos x - sin x)(cos x + sin x) - sin x - 1 = 0 2sinx cosx + (sqrt(2) sin(x + π/4))(sqrt(2) cos(x + π/4)) - sin x - 1 = 0 2sinx cosx + 2sin(x + π/4) cos(x + π/4) - sin x - 1 = 0 sin(2x + π/2) - sin x - 1 = 0 sin(2x + π/2) = sin x + 1

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы решить уравнение: sin(2x + π/2) = sin x + 1 cos(2x + π) = sin x + 1 cos(2x) = - sin x 1 - 2sin^2 x = -sin x 2sin^2 x - sin x + 1 = 0

Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений, чтобы получить два решения: sin x = (1 ± sqrt(3)i)/4

Оба решения являются комплексными числами, поэтому уравнение не имеет действительных решений.

3. Решение уравнения sin^4 x + cos