Question

Найдите первообразную для функции y = -5x^5 - cos2x

Answer 1

Возьмём интеграл от данной функции:  $\int {(-5x^5 - cos2x)}\, dx$
Представим в виде разности интегралов:  $-\int{cos2x}\, dx-5\int{x^5}\,dx$
Введём замену 2х:  $u=2x,\,du=2dx$
Подставим в выражение:  $-\frac{1}{2}\int{cosu}\,du-5\int{x^5}\,dx$
По таблице первообразных находим первообразную косинуса и степенной функции, и заменяем:  $-\frac{sinu}{2}- \frac{5x^6}{6}+C$
Производим обратную замену переменной и воспользуемся формулой синуса двойного угла:  $-\frac{sin2x}{2}-\frac{5x^6}{6}+C=-\frac{2sinxcosx}{2}-\frac{5x^6}{6}+C=-\frac{5x^6}{6}-sinxcosx+C$
Ответ:  $-\frac{5x^6}{6}-sinxcosx+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции y = -5x^5 - cos2x, мы должны найти функцию, производная которой равна -5x^5 - cos2x.

Используя правила дифференцирования, мы знаем, что производная от cos2x равна -2sin2x, поэтому нам нужно добавить -sin2x/2 в нашу первообразную.

Таким образом, первообразная функции y = -5x^5 - cos2x будет:

∫(-5x^5 - cos2x)dx = -x^6 - (1/2)sin2x + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.