Question

Доказать сочетательный закон для И x^(y^z)=(x^y)^z

Answer 1

Обозначения
<=> - эквивалентность

=> - больше или равно
<= - меньше или равно
{ } - утверждение
^ - логическое "И"
( ) - скобки определяют порядок вычисления

x, y, z - элементы множества где введено отношение меньше больше

Рассмотрим два случая охватывающем все значение x и y
1) x =>y
{( x ^ y ) =>z } <=> { x =>z ; y =>z } <=> { (x => y) ^ ( y => z ) } <=> { x => ( y => z ) }
2) x <= y
переобозначим x и y
x =>y и рассматриваем 1) случай
я так помню когда нас учили

Answer 2

Для доказательства сочетательного закона вам понадобятся свойства степеней и определение операции возведения в степень.

Определение операции возведения в степень: Для любых чисел x и n, где n является натуральным числом, x в степени n (обозначается как x^n) равно произведению x на само себя n раз: x^n = x * x * x * ... * x (n раз)

Свойства степеней:

• x^m * x^n = x^(m + n) (при умножении степеней с одинаковой основой необходимо сложить их показатели степени)
• (x^m)^n = x^(m * n) (при возведении в степень степени необходимо умножить их показатели степени)

Теперь рассмотрим выражение x^(y^z). По определению операции возведения в степень это равно x, умноженному на само себя y^z раз: x^(y^z) = x * x * ... * x (y^z раз)

Теперь рассмотрим выражение (x^y)^z. Сначала необходимо вычислить x^y, затем возведение в степень z: (x^y)^z = (x * x * ... * x)^z = x^y * x^y * ... * x^y (z раз) = x^(y * z)

Таким образом, мы получаем, что x^(y^z) = x^(y * z) = (x^y)^z. Это и есть сочетательный закон для операции возведения в степень.

Также можно заметить, что это свойство выполняется не только для натуральных показателей степени, но и для дробных и отрицательных.