Question

Вычислите сумму 1^2-2^2+3^2-4^2...+99^2-100^2+101^2

Answer 1

Формулы, использованные в ответе:

Формула сокращенного умножения $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Формула суммы арифметической прогрессии $S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n$

Формула нахождения разности в прогрессии $d=a_{n+1}-a_{n}$

Сгруппируем слагаемые:

$(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+...+(99^2-100^2)+101^2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+\\+(99-100)(99+100)+101^2$

Во всех слагаемых (кроме $101^{2}$) Первая скобка будет ровна "-1". Следовательно, "-1" можно вынести за скобки. А вторая скобка всегда возрастает на "4". Следовательно это арифметическая прогрессия с первым членом равным трём, и разностью 4.

$-1(3+7+11+15+...+199)+101^{2}$

Кол-во чисел в прогрессии равно 50 (чисел от 1 до 100-100, а так как у нас они расположены парами, то в два раза меньше-50)

Подставим в формулу суммы значения:

$S_{50}=\frac{2*3+4*49}{2}*50=(6+196)*25=5050$

Вся скобка ("(3+7+11+15+...+199)" равна 5050.

И тогда всё выражение равно:

$-1*5050+101^2=-5050+10201=5151$

Ответ:  $5151.$

Answer 2

Данная сумма представляет собой альтернирующуюся сумму квадратов целых чисел от 1 до 101. Мы можем вычислить ее, разложив ее на две суммы: сумму квадратов четных чисел и сумму квадратов нечетных чисел.

Сумма квадратов четных чисел от 2 до 100 равна:

(2^2) + (4^2) + (6^2) + ... + (100^2) = 4(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 25^2)

Мы можем использовать формулу для суммы квадратов первых n целых чисел:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Применяя эту формулу для n=25, мы получаем:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 25^2 = 252651/6 = 5525

Таким образом, сумма квадратов четных чисел от 2 до 100 равна:

4(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 25^2) = 4*5525 = 22,100

Аналогично, сумма квадратов нечетных чисел от 1 до 101 равна:

1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 99^2 + 101^2 = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2) + 101^2

Мы можем снова использовать формулу для суммы квадратов первых n целых чисел:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Применяя эту формулу для n=50, мы получаем:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2 = 5051101/6 = 42925

Таким образом, сумма квадратов нечетных чисел от 1 до 101 равна:

(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2) + 101^2 = 42925 + 101^2 = 52926

Итак, исходная сумма равна:

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 + 101^2 = (1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 99^2 + 101^2) - (2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 100^2) = 52926 - 22100 = 30826

Таким образом, сумма равна 30826.