Question

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=3√x и y=3x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для вычисления объема тела вращения необходимо использовать формулу цилиндра вращения: V = ∫[a,b] πy^2 dx где a и b - границы интегрирования, y - функция, описывающая границу фигуры.

В данном случае границы фигуры заданы уравнениями y=3√x и y=3x. Нам нужно найти точки пересечения этих кривых, чтобы определить границы интегрирования.

3√x = 3x √x = x x = 0 или x = 1

Точки пересечения: (0,0) и (1,3)

Таким образом, мы можем записать интеграл для вычисления объема тела вращения: V = ∫[0,1] π(3√x)^2 dx - ∫[0,1] π(3x)^2 dx V = π∫[0,1] 9x dx - π∫[0,1] 27x^2 dx V = π[4.5x^2]0^1 - π[9x^3]0^1 V = π[4.5 - 0] - π[9 - 0] V = 4.5π - 9π V = -4.5π

Ответ: объем тела вращения вокруг оси Ох, ограниченной линиями y=3√x и y=3x, равен -4.5π. Так как объем не может быть отрицательным, мы можем заключить, что вращение происходит вокруг оси Оy.