Question

Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30°, а площадь квадрата равна 144.

Answer 1

$a_\square=a_\lozenge, S_\square=144, \alpha=30^\circ, \\ S_\square=a_\square^2=a_\lozenge^2, \\ S_\lozenge=a_\lozenge^2\cdot\sin\alpha=S_\square\cdot\sin\alpha, \\ S_\lozenge=144\cdot\sin30^\circ=144\cdot\frac{1}{2}=72$

Answer 2

Пусть сторона ромба и квадрата равна a.

Так как квадрат имеет все стороны равными, его площадь равна a^2.

Рассмотрим ромб:

У ромба все стороны равны, а диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам. Обозначим длину одной из диагоналей ромба через d. Тогда длины сторон ромба можно выразить через диагональ:

a = d/√2 (по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной диагонали и стороной ромба).

Также из геометрических свойств ромба известно, что каждый угол ромба равен 180°/4 = 45°.

Если один из углов ромба равен 30°, то второй угол будет равен 180° - 30° - 45° = 105°.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и двумя сторонами ромба. Этот треугольник равнобедренный, поскольку две стороны ромба равны (это следует из свойств ромба), а угол между этими сторонами равен 105°/2 = 52.5° (половина неострого угла ромба).

Теперь можно выразить длину диагонали через сторону ромба и угол:

d = 2a*cos(52.5°)

d = 2*(a*√2/2)*cos(52.5°)

d = a*√2/cos(37.5°)

Теперь можем выразить площадь ромба через сторону и диагональ:

S = (d^2*sin(30°))/2

S = [(a*√2/cos(37.5°))^2*sin(30°)]/2

S = (a^2*sin(30°))/2 * (2/cos^2(37.5°))

S = (a^2*√3)/4 * (2/(cos^2(45°)*cos^2(7.5°)))

S = (a^2*√3)/4 * (2/(1/2*1/(cos^2(7.5°))))

S = a^2*√3*cos^2(7.5°)

Теперь осталось найти значение стороны a:

a^2 = 144

a = 12

И подставить его в формулу для площади р