Question

Помогите пожалуйста. В прямоугольнике, периметр которого равен 70 см, с вершины угла проведено биссектрису, которая разделила его диагональ на отрезки пропорциональны числам 3 и 4. Найдите площадь этого прямоугольника

Answer 1

Все решение свелось к простейшей системе. Площадь будет равняться х*у.

Answer 2

Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника через $a$, а длину большей стороны через $b$. Тогда из условия периметра имеем:

$2a + 2b = 70 \Rightarrow a + b = 35.$

Пусть $AC$ и $BD$ — диагонали прямоугольника, пересекающиеся в точке $O$, а $OE$ — биссектриса угла $AOD$, где $E$ — точка пересечения $OE$ с $AD$.

[asy] unitsize(0.7 cm);

pair A, B, C, D, O, E;

A = (0,2); B = (6,0); C = (6,-2); D = (0,0); O = intersectionpoint(A--C,B--D); E = extension(O, midpoint(A--D), A, D);

draw(A--B--C--D--cycle); draw(A--C); draw(B--D); draw(O--E);

label("$A$", A, NW); label("$B$", B, NE); label("$C$", C, SE); label("$D$", D, SW); label("$O$", O, S); label("$E$", E, NE); [/asy]

Так как $OE$ является биссектрисой, то $AD$ делится на отрезки $AE$ и $ED$ пропорционально длинам сторон $OB$ и $OD$:

$\frac{AE}{ED} = \frac{OB}{OD} = \frac{b}{a}.$

Также заметим, что треугольники $OAB$ и $OCD$ подобны, так как они имеют два одинаковых угла. Следовательно,

$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{b}{a}.$

Отсюда получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{AE}{ED} \\[0.5em] \dfrac{b}{a} = \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{AB}{CD} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = \dfrac{3}{4} AE \\[0.5em] b = \dfrac{OA}{OC} a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AE = \dfrac{4}{3} b \\[0.5em] \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{b}{a} \end{cases}.$

Из правой части второго уравнения получаем $\dfrac{b}{a} = \dfrac{OA}{OC} = \sqrt{\dfrac{b^2 + a^2}{b^2}}$, откуда

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{b^2}{(b^2 + a^2)/b^2} = \frac{b^4}{a^2+b^2}.$

Умнож