Question

Найти производную сложной функции y=ln*sqrt(1+tg^2x)

Answer 1

$y=ln\sqrt{1+tg^2x}\\\\y'=\frac{1}{\sqrt{1+tg^2x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+tg^2x}}\cdot 2tgx\cdot \frac{1}{cos^2x}= \frac{tgx}{cos^2x(1+tg^2x)}=\\\\= \frac{tgx}{cso^2x\cdot \frac{1}{cos^2x}}=tgx$

Answer 2

$(ln \sqrt{1+tg^2x})'= \frac{1}{\sqrt{1+tg^2x}} *(\sqrt{1+tg^2x} )'= \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{1+tg^2x}} *\frac{1}{2\sqrt{1+tg^2x}} *(1+tg^2x )'= \\ \\= \frac{1}{\sqrt{1+tg^2x}} *\frac{1}{2\sqrt{1+tg^2x}} *2tgx*(tgx )'= \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{1+tg^2x}} *\frac{1}{2\sqrt{1+tg^2x}} *2tgx* \frac{1}{cos^2x} = \\ \\ =\frac{2tgx}{2\sqrt{1+tg^2x}*\sqrt{1+tg^2x}*cos^2x} =\frac{tgx}{cos^2x(1+tg^2x)} =\frac{tgx}{cos^2x+sin^2x} =tgx$

Answer 3

Для нахождения производной сложной функции нам необходимо применить правило дифференцирования сложной функции, которое гласит:

(d/dx) f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x),

где f'(x) обозначает производную функции f(x), а g'(x) обозначает производную функции g(x).

В данном случае, функция f(g(x)) = ln(sqrt(1 + tg^2x)), где g(x) = tg^2x + 1.

Сначала найдем производную функции g(x):

g'(x) = d/dx (tg^2x + 1) = 2tgx * sec^2x

Теперь найдем производную функции f'(g(x)):

f'(g(x)) = d/dg (ln(sqrt(1 + g^2))) = 1/(sqrt(1+g^2)) * (1/2) * 2g = g/(sqrt(1+g^2))

Теперь мы можем применить правило дифференцирования сложной функции:

(d/dx) ln(sqrt(1 + tg^2x)) = f'(g(x)) * g'(x) = (tg^2x + 1) / sqrt(1 + tg^2x) * 2tgx * sec^2x = 2tgx * (tg^2x + 1) * sec^2x / sqrt(1 + tg^2x)

Таким образом, производная данной функции равна 2tgx * (tg^2x + 1) * sec^2x / sqrt(1 + tg^2x).