Question

Решить задачу Коши y'+y/x=(x+1)e'x/x

Answer 1

Ответ: y = eˣ

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи Коши необходимо рассмотреть уравнение:

y' + y/x = (x + 1) e^x / x

Приведем его к более удобному виду:

y' = (x + 1) e^x / x - y/x

Заметим, что это уравнение не разделяется и не является линейным. Однако оно имеет вид уравнения Бернулли, которое можно привести к линейному виду с помощью замены:

y = u / x

Тогда

y' = u' / x - u / x^2

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

u' / x - u / x^2 + u / x^2 = (x + 1) e^x / x

u' / x = (x + 1) e^x / x

u' = x e^x / (x + 1)

Затем проинтегрируем обе стороны по переменной x:

∫ u' dx = ∫ x e^x / (x + 1) dx

u = ∫ x e^x / (x + 1) dx

Для интегрирования правой части этого уравнения можно воспользоваться методом интегрирования по частям:

u = x e^x - ∫ e^x dx / (x + 1)

u = x e^x - e^x ln(x + 1) - ∫ e^x / (x + 1) dx

Остается проинтегрировать последний интеграл. Для этого воспользуемся методом замены переменной:

x + 1 = t

dx = dt

u = x e^x - e^x ln(x + 1) - ∫ e^(t-1) / t dt

Этот интеграл не имеет элементарного решения, поэтому его нужно вычислить численно или с помощью специальных функций.

Таким образом, решение исходной задачи Коши выражается формулой:

y = u / x = e^x - ln(x + 1) - ∫ e^(t-1) / t dt / x,

где интеграл справа нужно вычислить численно или с помощью специальных функций.