Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 8 – тоже остается неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Answer 1

Решение в приложении.
Два ответа, которые удовлетворяют условию задачи :
1) 41 плитка
2) 97 плиток.

Answer 2

Пусть общее количество плиток, которые остались, равно N. Тогда мы можем записать следующую систему уравнений:

N ≡ 5 (mod 8) (1) N ≡ 6 (mod 7) (2) N ≡ 0 (mod 10) (3)

Уравнение (1) означает, что остаток от деления N на 8 равен 5. Это означает, что если мы разделим N на 8, то получим неполный ряд из 5 плиток, которые не хватило для полного ряда при укладывании по 7. Уравнение (2) означает, что остаток от деления N на 7 равен 6, что означает, что при укладывании по 7 плиток в ряд остается один неполный ряд. Уравнение (3) означает, что N кратно 10, то есть количество плиток должно быть кратно 10.

Мы можем решить эту систему уравнений методом китайской теоремы об остатках. Для этого нам нужно найти решение системы уравнений (1) и (3), а затем решить систему уравнений, состоящую из найденных решений и уравнения (2).

Решим сначала систему уравнений (1) и (3). Найдем число N, которое удовлетворяет обоим уравнениям:

N ≡ 0 (mod 10) (3) N ≡ 5 (mod 8) (1)

Для этого мы можем использовать общую формулу для решения системы уравнений вида x ≡ a (mod m) и x ≡ b (mod n):

x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n)

Если m и n взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то решение этой системы уравнений имеет вид:

x ≡ aninv(n, m) + bminv(m, n) (mod m*n)

где inv(n, m) обратный элемент n по модулю m (такой элемент k, что n*k ≡ 1 (mod m)).

В нашем случае m=10, n=8, a=0 и b=5. Мы можем найти inv(8,10) и inv(10,8), используя расширенный алгоритм Евклида или таблицу обратных элементов по модулю. Заметим, что 8 и 10 не взаимно просты, поэтому мы не можем применить простую формулу.

Найдем inv(8,10): 10 = 18 + 2 8 = 42 + 0 2 =