Question

19. На биссектрисе BМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка D, на отрезке AM – точка E и на отрезке CM – точка F, причем EM = FM. Найдите угол CFD, если угол FDE равен 80°.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике биссектриса и высота, проведённые к основанию совпадают, значит ВМ⊥АС
Δ DME=ΔDMF (по двум катетам: они прямоугольные, DM-общая, EM=FM по условию) ⇒DE=DC, значит ΔEDF равнобедренный ⇒∠DEM=∠DFM
сумма внутренних углов ΔEDF равна 180°, поэтому ∠DFM=(180°-80°)÷2=50°
∠DFM и ∠CFD смежные, их сумма равна 180°⇒∠CFD=180°-∠DFM
∠CFD=180°-50°=130°

Answer 2

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то биссектриса $BM$ является медианой и высотой этого треугольника. Также, поскольку $EM = FM$, то точка $F$ лежит на середине отрезка $CM$.

Рассмотрим треугольник $EDF$. Угол $FDE$ равен $80^\circ$, а также $EM = FM$, следовательно, $EF$ является биссектрисой угла $EDF$.

Так как $BM$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два равных треугольника $ABM$ и $CBM$. Значит, $\angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}C$.

Также, $\angle ABD = \angle CBD$, поэтому треугольники $ABD$ и $CBD$ равны, и $\angle ADB = \angle CDB = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ACB) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle ACB$. Но $\angle ABM = \frac{1}{2}\angle ACB$, поэтому $\angle ADM = \angle ADB - \angle ABM = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle ACB - \frac{1}{2}\angle ACB = 90^\circ - \angle ABM$.

Таким образом, треугольник $ADM$ прямоугольный, и $\angle DAF = \angle DAM = \angle ABM$. Значит, $\angle FDM = \angle ABM$, и треугольник $DFM$ также равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник $CFD$. Угол $CDF$ равен $90^\circ$, так как $CD$ является биссектрисой угла $ACB$. Из равнобедренности треугольника $DFM$ следует, что $\angle MFD = \angle DFM = \frac{1}{2}\angle CDM$. Из равенства $EM = FM$ следует, что $\angle MFE = \angle MEF = \frac{1}{2}\angle CDE$, а из биссектрисы $EF$ следует, что $\angle DEF = \angle CDE - \angle MFE = \frac{1}{2}\angle CDE - \frac{1}{2}\angle CDE = 0^\circ$. Таким образом, треугольник $DEF$ является равнобедренным, и $DE = DF$.

Так как $DE = DF$ и $\angle FDE = 80^\circ$, то $\angle DFE = \angle DEF = 0^\circ$, и треугольник $DFE$ вырожденный. Значит, точки $D$, $E$ и $F$ лежат на