Question

Найдите точку минимума функции. y=(x+2)^2 (x+9)+8

Answer 1

(x+2)^2 + (x+9)+8
x^2+5 x+21

Минимум в вершине
Ответ -5 / 2

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти её производную и приравнять её к нулю. Затем найденное значение подставляем второй раз в производную, чтобы убедиться, что это действительно точка минимума.

Начнем с нахождения производной функции:

y' = 2(x + 2)(x + 9) + (x + 2)^2

Далее приравняем производную к нулю:

2(x + 2)(x + 9) + (x + 2)^2 = 0

Раскроем скобки:

2x^2 + 26x + 72 + x^2 + 4x + 4 = 0

Соберем коэффициенты при одинаковых степенях x:

3x^2 + 30x + 76 = 0

Решим квадратное уравнение:

x = (-30 ± sqrt(30^2 - 4376)) / (2*3)

x = (-30 ± sqrt(156)) / 6

x = (-15 ± sqrt(39)) / 3

Таким образом, мы получили два значения x, при которых производная равна нулю:

x₁ = (-15 - sqrt(39)) / 3 ≈ -6.25 x₂ = (-15 + sqrt(39)) / 3 ≈ -1.42

Чтобы убедиться, что x₁ и x₂ действительно соответствуют точкам минимума функции, нужно подставить их во вторую производную и проверить её знак. Если вторая производная положительна, то это действительно точка минимума, если отрицательна - то это точка максимума. Если вторая производная равна нулю, то нужно проводить дополнительные исследования.

Вычислим вторую производную функции:

y'' = 2(x + 2) + 2(x + 9) + 2(x + 2)(x + 9)

Подставим найденные значения x₁ и x₂:

y''(x₁) = 2(-6.25 + 2) + 2(-6.25 + 9) + 2(-6.25 + 2)(-6.25 + 9) ≈ 12.47 > 0

y''(x₂) = 2(-1.42 + 2) + 2(-1.42 + 9) + 2(-1.42 + 2)(-1.42 + 9) ≈ 18.04 > 0

Так как в обоих случаях вторая производная положительна, то мы убедились, что точки x₁ и x₂ являются точками минимума функции.

Ответ: Точки минимума функции y=(x+2)^2 (x+9)+8 равны: x₁ ≈