Question

Вычислить площадь поверхности образованной вращением дуги параболы у^2=4х вокруг оси Ох, ограниченной точками О (0;0) и А (3; 2√3).

Answer 1

$y^2=4x\; \; \Rightarrow \; \; y=\pm 2\sqrt{x}\\\\y=2\sqrt{x}\; \; \to \; \; y'=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\\\S=\pi \int\limits^{b}_{a}\, y\cdot \sqrt{1+(y')^2}dx=\pi \int\limits^3_0\, 2\sqrt{x}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{x}}dx=\\\\=\pi \int\limits^3_0\, 2\sqrt{x}\cdot \sqrt{ \frac{1+x}{x}}\, dx=2\pi \int\limits^3_0\, \sqrt{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}\, dx=\\\\=2\pi \int\limits^3_0\, \sqrt{1+x}\, dx=2\pi \cdot \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2}\Big |_0^3=\frac{4\pi }{3}\cdot \sqrt{(1+x)^3}\Big |_0^3$

$= \frac{4\pi }{3}\cdot (\sqrt{4^3}-1)= \frac{4\pi }{3}\cdot (8-1)=\frac{28\pi }{3}$

Answer 2

Для вычисления площади поверхности образованной вращением дуги параболы необходимо воспользоваться формулой поверхности вращения:

S = 2π ∫[a,b] y ds

где y - функция, описывающая параболу у^2=4х, a и b - начальная и конечная точки дуги, ds - элемент длины дуги, выраженный через dx и dy.

Первым шагом необходимо найти начальную и конечную точки дуги. Для этого решим систему уравнений параболы и отрезка ОА:

y^2 = 4x y = 2√3x/3

2√3x/3 = 2√3 x = 3

y = 2√3

Таким образом, начальная точка дуги - О(0,0), конечная точка дуги - А(3,2√3).

Для нахождения элемента длины дуги ds воспользуемся формулой:

ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

где dy/dx = 2y/x. Таким образом,

ds = sqrt(1 + (2y/x)^2) dx ds = sqrt(1 + 4y^2/x^2) dx ds = sqrt(1 + 4y^2/16y^2) dx ds = sqrt(1 + 1/4) dx ds = sqrt(5)/4 dx

Теперь можем выразить площадь поверхности вращения:

S = 2π ∫[0,3] y ds S = π/2 ∫[0,3] y sqrt(5) dx

Выражаем y через x: y = 2√3x/3

S = π/2 ∫[0,3] 2√3x/3 sqrt(5) dx S = π/3 ∫[0,3] x^(3/2) dx S = π/3 * 2/5 * x^(5/2) [от 0 до 3] S = 2π/15 * (3^(5/2) - 0)

Ответ: площадь поверхности образованной вращением дуги параболы y^2=4x вокруг оси Ох, ограниченной точками О (0;0) и А (3; 2√3) равна 2π/15 * (3^(5/2) - 0) квадратных единиц.