Question

Интеграл от -2 до 6 (x^2-6x+9)dx

Answer 1

Найдем определенный интеграл
, используя формулу (см рис)
$F(x)=(\frac{ {x}^{3}}{3} - 3 {x}^{2} + 9x) + c$
F(6)=18
F(-2)=-98/3

Наш определенный интеграл

=18-(-98/3)=(54+98)/3=152/3

Answer 2

Данный интеграл можно решить с помощью формулы интегрирования для многочлена, которая гласит, что интеграл от многочлена равен сумме интегралов от его слагаемых.

Таким образом, мы можем разложить подынтегральное выражение на квадратичные слагаемые:

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

Заметим, что данное выражение представляет собой квадрат разности (x-3), и поэтому его интегралом будет функция, определенная на интервале [-2, 6]:

∫(x^2 - 6x + 9) dx = ∫((x - 3)^2) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать формулу интегрирования для квадрата разности:

∫((x - a)^2) dx = (x - a)^3 / 3 + C

где C - произвольная постоянная интегрирования, а "a" - константа сдвига. В данном случае, a = 3.

Используя эту формулу, получаем:

∫((x - 3)^2) dx = ((x - 3)^3) / 3 + C

Теперь остается только вычислить значение интеграла на интервале [-2, 6], подставив соответствующие значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:

∫(x^2 - 6x + 9) dx = [((6 - 3)^3) / 3 - ((-2 - 3)^3) / 3] = [27/3 - (-125/3)] = 152/3

Таким образом, интеграл от данного выражения на интервале [-2, 6] равен 152/3.