Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром . Найдите расстояние между прямыми AA1 и D1K, где точка K - середина ребра BC

Answer 1

АА1 и D1K - cкрещивающиеся прямые.
D1K - лежит в пл. DD1K1K.  
Расстоянием от АА1 до D1K будет расстояние от АА1 до DD1K1K , т.к. АА1 параллельна плоскости DD1K1K ( прямая АА1 параллельна прямой DD1, лежащей в пл. DD1K1K ⇒ AA1║DD1K1K). А это расстояние = расстоянию от т. А до пл. DD1K1K . Проведём АМ⊥DD1K1K ( AM⊥DK  и АМ⊥DD1).
АМ - искомое расстояние.
АМ - высота равнобедренного ΔАKD ( KD=AK, т.к. СК=КВ и АВ=DC ).
АK=DK=√(AB²+BK²)=√((2√5)²+(√5)²)=√(20+5)=5.
KH⊥AD  ⇒  KH=DC=AB=2√5 ( т.к. АВСD - квадрат)
S(ΔAKD)=1/2*AD*KH=1/2*2√5*2√5=2*5=10
S(ΔAKD)=1/2*DK*AM=1/2*5*AM  ⇒  5/2*AM=10  ⇒  AM=10:(5/2)=4

Answer 2

Чтобы найти расстояние между прямыми AA1 и D1K, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Сначала найдем уравнения прямых AA1 и D1K.

Прямая AA1 проходит через точки A и A1. Пусть M - точка на прямой D1K такая, что DM || AA1. Тогда точка M также лежит на прямой AA1, и мы можем записать следующую систему уравнений:

scssCopy code
{ x - x_A = t(x_A1 - x_A)
{ y - y_A = t(y_A1 - y_A)
{ z - z_A = t(z_A1 - z_A)

{ x - x_D1 = k(x_K - x_D1)
{ y - y_D1 = k(y_K - y_D1)
{ z - z_D1 = k(z_K - z_D1)

где t и k - параметры прямых.

Заметим, что точки M и K лежат на одной прямой DM, а значит, вектор DM параллелен вектору A1A. То есть

scssCopy code
{ x_M - x_D1 = s(x_A1 - x_A)
{ y_M - y_D1 = s(y_A1 - y_A)
{ z_M - z_D1 = s(z_A1 - z_A)

для некоторого параметра s.

Теперь мы можем исключить t из первой тройки уравнений, подставив в них выражения для координат M через s:

scssCopy code
{ x - x_A = ((x_A1 - x_A)/(x_K - x_D1))(x - x_D1 - s(x_K - x_D1))
{ y - y_A = ((y_A1 - y_A)/(y_K - y_D1))(y - y_D1 - s(y_K - y_D1))
{ z - z_A = ((z_A1 - z_A)/(z_K - z_D1))(z - z_D1 - s(z_K - z_D1))

Это уравнение прямой AA1 в параметрическом виде. Аналогично, для прямой D1K мы можем записать:

scssCopy code
{ x - x_D1 = ((x_K - x_D1)/(x_A1 - x_A))(x - x_A - r(x_A1 - x_A))
{ y - y_D1 = ((y_K - y_D1)/(y_A1 - y_A))(y - y_A - r(y_A1 - y_A))
{ z - z_D1 = ((z_K - z_D1)/(z_A1 - z_A))(z - z_A - r(z_A1 - z_A))

где r - параметр прямой D1K.

Теперь, чтобы найти расстояние между прямыми AA1 и D1K, нам нужно найти расстояние между точками M и N, лежащими на прямых