Question

Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если площадь его полной поверхности в три раза больше площади основания.

Answer 1

Угол при вершине осевого сечения высотой конуса делится на два равных угла α. sinα = R/L.
По условию S(осн)*3 =S(бок)
πR²*3 =πRL
3R=L⇒sinα=1/3.
α= arcsin(1/3).
Угол при осевом сечении в 2 раза больше. Ответ: 2arcsin(1/3).

Answer 2

Обозначим площадь основания конуса через $S$, а радиус основания через $r$. Тогда площадь полной поверхности конуса выражается через радиус и образующую конуса $l$ следующим образом:

$$F=\pi r^2 + \pi rl,$$

где $l$ - образующая конуса. Так как площадь полной поверхности конуса в три раза больше площади основания, мы можем записать уравнение:

$$\pi r^2 + \pi rl = 3S.$$

Выразим $l$ через $r$ и $S$:

$$l = \frac{3S - \pi r^2}{\pi r}.$$

Угол при вершине конуса $\alpha$ выражается через радиус основания и образующую конуса следующим образом:

$$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{r}{l}.$$

Подставим выражение для $l$:

$$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{\pi r^2}{3S - \pi r^2}.$$

Используя соотношение $\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}$, можно выразить $\cos{\alpha}$ через $r$ и $S$:

$$\cos{\alpha} = 1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 - 2\frac{\pi^2 r^4}{(3S - \pi r^2)^2}.$$

Теперь мы можем найти угол $\alpha$ при вершине конуса:

$$\alpha = 2\arccos{\left(1 - 2\frac{\pi^2 r^4}{(3S - \pi r^2)^2}\right)}.$$

Ответ: угол при вершине осевого сечения конуса равен $2\arccos{\left(1 - 2\frac{\pi^2 r^4}{(3S - \pi r^2)^2}\right)}$.