Question

Докажите тождество (1+tga)(1+ctga)-1/sina*cosa=1

Answer 1

$(1+tg\alpha)(1+ctg\alpha)-\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=1\\1+tg\alpha+ctg\alpha+tg\alpha ctg\alpha-\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=1\\1+\frac{sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\frac{cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}+1-\frac{1}{\sin{\alpha}*\cos{\alpha}}=1\\1+\frac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}-\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=0\\1+\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}-\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=0\\1=0$

Равенство неверно, значит, тождество тоже неверно.

Answer 2

$(1+\tan a)(1+\cot a) -\frac{1}{\sin a \cos a} = (1+\frac{\sin a}{\cos a})(1+\frac{\cos a}{\sin a}) -\frac{1}{\sin a \cos a} = (\frac{\cos a + \sin a}{\cos a}) (\frac{\sin a+\cos a}{\sin a}) - \frac{1}{\sin a \cos a} = \frac{(\cos a + \sin a)(\sin a+ \cos a)-1}{\cos a \sin a} = \frac{\cos a \sin a + \cos^2 a + \sin^2 a + \sin a \cos a-1}{\cos a \sin a} = \frac{1+2\sin a \cos a-1}{\cos a \sin a} = \frac{2\sin a \cos a}{\cos a \sin a} = 2$

Ну никак не получается, что равно 1.

Answer 3

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

1. $1 + \tan^2{\theta} = \sec^2{\theta}$, где $\theta$ - угол.
2. $\cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}}$
3. $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$

Сначала раскроем скобки в левой части и приведем подобные слагаемые:

$(1 + \tan{\alpha})(1 + \cot{\beta}) - \frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\beta}}$

$= 1 + \tan{\alpha} + \cot{\beta} + \tan{\alpha}\cot{\beta} - \frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\beta}}$

Заметим, что $\tan{\alpha}\cot{\beta} = 1$:

$\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cdot \frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} = \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\cos{\alpha}\sin{\beta}} = \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}}$

$\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}} = \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}\sin{\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}}} = \frac{1}{2\sin{\frac{\alpha}{2}\cos{\frac{\beta}{2}}}}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$, можем переписать знаменатель как $\sin{\alpha+\beta}-\sin{\alpha-\beta} = 2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Таким образом, мы можем упростить выражение:

$1 + \tan{\alpha} + \cot{\beta} + \tan{\alpha}\cot{\beta} - \frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\beta}}$

$= 1 + \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}} + 1 - \frac{1}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}}$

$= 2 + \frac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\beta} + 2\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\sin{\alpha}\cos{\beta}} - \frac{1}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}}$

$= 2 + \frac{(\sin{\alpha}+\cos{\beta})^2}{\sin{\alpha}\cos{\beta}} - \frac{1}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\beta}{2}}}$

$= 2 + \frac{2(\