Question

Найти производную функции y=tg2x-ctg2x и вычислить y‘ (π/4)

Answer 1

У'=2/cos2xcos2x +2/sin2xsin2x=2(sin2xsin2x+cos2xcos2x)/(sin2xcos2x)^2=2/(sin2xcos2x)^2=2/(0,5sin4x)^2=4/(sin4x)^2.
Y'(pi/4)=4/(0)^2=бесконечность

Answer 2

Чтобы найти производную функции y=tg2x-ctg2x, сначала найдем производные каждого из слагаемых:

y = tg(2x) - ctg(2x) y' = (tg(2x))' - (ctg(2x))'

Для нахождения производной тангенса используем правило дифференцирования сложной функции:

(tg(u))' = u' / (cos(u))^2

В нашем случае u = 2x, так что:

(tg(2x))' = 2 / (cos(2x))^2

Аналогично, для производной котангенса используем правило дифференцирования произведения:

(ctg(u))' = -u' / (sin(u))^2

И снова, в нашем случае u = 2x, так что:

(ctg(2x))' = -2 / (sin(2x))^2

Теперь можем выразить y' через эти производные:

y' = (tg(2x))' - (ctg(2x))' = 2 / (cos(2x))^2 + 2 / (sin(2x))^2

Чтобы вычислить y' в точке π/4, подставим x = π/8 в полученное выражение:

y'(π/4) = 2 / (cos(π/2))^2 + 2 / (sin(π/2))^2 = 2 / 0 + 2 / 1 = не определено

Заметим, что производная не определена в этой точке, так как косинус π/2 равен нулю, что делает знаменатель первого слагаемого бесконечно большим. Следовательно, функция y не имеет производной в точке π/4.