Question

Длина биссектрисы Lc, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле (корень на всё выражение). Треугольник имеет стороны 4, 5√7 и 16. Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 5√7.

Answer 1

Треугольник имеет стороны 4, 5√7 и 16. Пусть сторона длины 5√7 это "с".

Тогда Lc = √(4*16*(1 - (175/400)) = 2*4√(225/400) = 8*(15/20) = 6.

Answer 2

Для вычисления длины биссектрисы Lc нам нужно знать длины двух других биссектрис Lb и La и длину соответствующей стороны треугольника c. Для этого мы можем воспользоваться формулой для вычисления длины биссектрисы:

Lc = 2ab / (a + b) * cos(C/2),

где a и b - длины двух сторон, смежных со стороной c, C - угол при вершине, образованной стороной c.

Перед тем, как приступить к вычислению, найдём угол С с помощью теоремы косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)

16^2 = 4^2 + (5√7)^2 - 24(5√7)*cos(C)

256 = 16 + 175 - 40√7*cos(C)

cos(C) = (175 - 240) / (40√7)

cos(C) = -1 / (2√7)

С углом C найдём длины биссектрис Lb и La:

Lb = 2ac / (a + c) * cos(B/2),

La = 2bc / (b + c) * cos(A/2),

где A и B - углы при вершинах, образованных сторонами a и b соответственно.

Найдём углы A и B с помощью теоремы синусов:

sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c

sin(A) / 4 = sin(B) / 5√7

sin(B) = (5√7 / 4) * sin(A)

sin(A) / 4 = sin(C) / 16

sin(C) = (16 / 4) * sin(A)

sin(A) / 4 = sin(B) / 5√7 = sin(C) / 16

sin(A) = (4 * 5√7) / (16 * √7) = 5 / 4

A = arcsin(5/4) ≈ 54.99°

sin(B) = (5√7 / 4) * sin(A) ≈ 0.754

B = arcsin(0.754) ≈ 49.41°

Теперь можем вычислить Lb и La:

Lb = 2ac / (a + c) * cos(B/2) = 2416 / (4 + 16) * cos(49.41/2) ≈ 9.08

La = 2bc / (b + c) * cos(A/2) = 25√716 / (5√7 + 16) * cos(54.99/2) ≈ 7.29

Наконец, можем вычислить Lc:

Lc = 2ab / (a + b) * cos(C/2) = 245√7