Question

Докажите что простых чисел вида p=4k + 3 Бесконечно много

Answer 1

Потому что k может быть любой цифрой, то есть k(0;+бесконечность)

Answer 2

Допустим, что существует конечное количество простых чисел вида p = 4k + 3, и пусть эти числа будут перечислены в порядке возрастания как p1, p2, ..., pn.

Рассмотрим число N = 4p1p2...pn + 3. Это число также имеет вид 4k + 3, так как остаток от деления на 4 равен 3.

Теперь рассмотрим любой простой делитель числа N. Очевидно, что этот делитель не может быть равен ни одному из чисел p1, p2, ..., pn, потому что в противном случае он бы делил их произведение 4p1p2...pn и, следовательно, не был бы делителем числа N.

Таким образом, любой простой делитель числа N имеет вид p = 4k + 1. Это следует из теоремы Евклида, согласно которой любой простой делитель числа вида 4k + 3 имеет такой же вид.

Но если все простые делители числа N имеют вид p = 4k + 1, то само число N должно иметь такой же вид. Это противоречит предположению о том, что N имеет вид 4k + 3.

Следовательно, предположение о том, что существует конечное количество простых чисел вида p = 4k + 3, должно быть ложным, и простых чисел такого вида должно быть бесконечно много.