Question

Помогите решить,пожалуйста. Найдите все рациональные тройки x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z =1.

Answer 1

Приводите к виду:

$(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2+(z+\frac{1}{2})^2=\frac{7}{4}$

Далее по аналогии с окружностью рисуете и показываете, что все точки лежат на равноудалённом расстоянии от центра сферы $(-1/2; -1/2; -1/2)$ и являются решениями...

Answer 2

Данное уравнение нелинейно и имеет много переменных, поэтому найти все рациональные тройки решений в общем виде может быть довольно сложно. Однако мы можем использовать некоторые методы и наблюдения, чтобы найти некоторые рациональные решения.

Прежде всего, заметим, что если мы выберем значения x, y и z из множества рациональных чисел, то сумма x^2 + y^2 + z^2 также будет рациональной. Поэтому, чтобы уравнение x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 имело рациональное решение, достаточно найти рациональные значения x, y и z, удовлетворяющие этому уравнению.

Мы можем переписать уравнение в следующем виде:

(x + 1/2)^2 + (y + 1/2)^2 + (z + 1/2)^2 = 3/4

Заметим, что правая часть этого уравнения является рациональным числом. Также заметим, что если мы найдем рациональные числа p, q и r, такие что p^2 + q^2 + r^2 = 3/4, то мы можем выбрать x = p - 1/2, y = q - 1/2 и z = r - 1/2, и получить рациональное решение исходного уравнения.

Мы можем найти рациональные решения уравнения p^2 + q^2 + r^2 = 3/4, используя метод Пифагора. Действительно, мы можем выбрать два рациональных числа из интервала (-1, 1), например, p = 2/3 и q = 3/5, и рассчитать r = sqrt(3/4 - p^2 - q^2). Тогда (p, q, r) будет рациональным решением уравнения p^2 + q^2 + r^2 = 3/4.

Подставляя найденные значения в x = p - 1/2, y = q - 1/2 и z = r - 1/2, мы получаем следующее рациональное решение исходного уравнения:

x = 2/3 - 1/2 = 1/6, y = 3/5 - 1/2 = 1/10, z = sqrt(3/4 - (2/3)^2 - (3/5)^2) - 1/2 = -11/30

Таким образом, рациональное решение исходного уравнения это (1/6, 1/10, -11/30).