Question

В каждую клетку квадрата 3х3 записано целое число. При этом сумма чисел в каждом столбце, кроме первого, в 4 раза больше, чем в предыдущем. Сумма чисел в каждой строке, кроме первой, на 1 больше, чем в предыдущей, а в одной из строк сумма чисел составляет 2008. Найти сумму чисел в первом столбце. СРОЧНО

Answer 1

Сумма цифр первого столбца =Х.
Тогда сумма цифр второго столбца = 4Х и сумма третьего = 16Х.
Всего по всем 3 столбцам (в 9 клетках) сумма = Х+4Х+16Х= 21Х

Поскольку "сумма чисел в каждой строке, кроме первой, на 1 больше, чем в предыдущей, а в одной из строк сумма чисел составляет 2008", то сумма чисел по строкам:
первой = 2008 + (К-1)
второй = 2008 + К
третьей = 2008 + (К+1).

При этом К может быть:
или =-1, если сумма 2008 - по третьей строчке,
или К=0, если сумма 2008 - по второй строчке,
или К=1, если сумма 2008 - по первой строчке.

Выходит, что сумма по всем 3 строкам (9 клеткам) = 3*2008+3К

Сумма цифр по 9 клеткам по горизонтали (по строкам) = 21Х, по вертикали (по столбцам) = 6024+3К.

21Х=6024+3К

Если К=0 Х=6024:21 - нацело не делится,
если К=-1 Х=6021:21 - нацело не делится,
если К=1 Х=6027:21 =287 (искомая сумма чисел в первом столбце - в том случае, когда сумма 2008 - по первой строчке).

Ответ: сумма чисел в первом столбце = 287.

Answer 2

Пусть числа в первом столбце квадрата равны a, b, c (сверху вниз). Тогда сумма чисел в первом столбце равна S = a + b + c.

Сумма чисел во втором столбце равна 4S - a, а сумма чисел в третьем столбце равна 4(4S - a) - (a + b + c) = 15S - 4a - b - c.

Сумма чисел в первой строке равна S + 1, сумма чисел во второй строке равна S + 2, а сумма чисел в третьей строке равна S + 3. Поэтому сумма всех чисел в квадрате равна:

(S + 1) + (S + 2) + (S + 3) + (4S - a) + (15S - 4a - b - c) = 25S - 5a - b - c + 6

Также из условия известно, что сумма чисел в одной из строк равна 2008. Пусть это строка с номером i (1 ≤ i ≤ 3), тогда:

S + i + (4S - a) = 2008

Перепишем это уравнение в виде:

5S - a + i = 2008

Отсюда выражаем a:

a = 5S + i - 2008

Подставляем выражение для a в выражение для суммы всех чисел:

25S - 5(5S + i - 2008) - b - c + 6 = 20S + 5i - 1005 - b - c + 6

Из этого уравнения можно выразить S:

S = (1006 - 2i) / 3

Теперь можем выразить a:

a = 5S + i - 2008 = (5028 - 7i) / 3

Итак, сумма чисел в первом столбце равна S = (1006 - 2i) / 3, где i - номер строки, в которой сумма чисел равна 2008. Чтобы найти i, нужно рассмотреть три случая:

1. Если сумма чисел в первой строке равна 2008, то i = 1, и сумма чисел в первом столбце равна (1006 - 2) / 3 = 334.

2. Если сумма чисел во второй строке равна 2008, то i = 2, и сумма чисел в первом столбце равна (1006 - 4) / 3 = 334.

3. Если сумма чисел в третьей строке равна 2008, то i = 3, и сумма чисел в первом столбце равна (1006 - 6) / 3 = 333.

Итак