Question

Скільки існує різних рівнобедрених трикутників, сторони яких виражаються у сантиметрах цілими числами, а периметр дорівнює 60 сантиметрам?А: 13Б: 14В: 15Г: 16Д: 20​

Answer 1

Ответ:

14

Пошаговое объяснение:

Основание по неравенству треугольника должно быть меньше суммы двух других сторон, или, что тоже самое, меньше половины периметра. В данном случае, основание должно быть не больше 29 см.

Если основание треугольника d см, то сумма двух других сторон равна (60 - d) см, а каждая сторона – (60 - d)/2 см = (30 - d/2) см. Длины боковых сторон будут выражаться целым числом сантиметров, только если d будет чётным.

Соединяя написанное выше, находим, что удовлетворяют условию тройки длин (каждой тройке отвечает один треугольник), получающиеся при d = 2 * 1, 2 * 2, ..., 2 * 14 – всего 14

Answer 2

Загальна формула для периметра рівнобедреного трикутника з основою $b$ та бічною стороною $a$:

$P = 2a + b$

У нашому випадку периметр $P = 60$ см, тому маємо:

$60 = 2a + b$

Можна помітити, що основа $b$ повинна бути парним числом, оскільки інакше $2a + b$ не буде парним числом, що ділиться на 2.

Також з нерівності трикутника відомо, що сума будь-яких двох сторін трикутника завжди більша за третю сторону. У рівнобедреного трикутника довжина бічної сторони $a$ менша за довжину основи $b$.

Отже, найбільша можлива довжина основи $b$ дорівнює $29$ (якщо $b$ дорівнює $30$, то $a$ буде дорівнювати $15$, але тоді він був би рівним більшій стороні, що суперечить умові рівнобедреності). Найменша можлива довжина основи $b$ дорівнює $2$ (якщо $b$ дорівнює $1$, то $a$ буде дорівнювати $29.5$, а це не є цілим числом).

Тепер переберемо всі парні значення для основи $b$ від $2$ до $28$ і знайдемо відповідні значення бічної сторони $a$, використовуючи формулу $a = (60 - b)/2$. Якщо отримані значення $a$ є цілими числами, то вони підходять.

Отже, ми отримали наступні рівнобедрені трикутники з цілими сторонами та периметром 60 см:

& 29-1-30 \\ & 28-2-30 \\ & 27-3-30 \\ & 26-4-30 \\ & 25-5-30 \\ & 24-6-30 \\ & 23-7-30 \\ & 22-8-30 \\ & 21-9-30 \\ & 20-10-30 \\ & 19-11-30 \\ & 18-12-30 \\ & 17-13