Question

В коробке лежат ложки.Когда их пересчитали десятками,то не хватило двух ложек до последнего полного десятка;когда их пересчитали дюжинами,то осталось 8 ложек.Сколько в коробке ложек,если их больше 150,но меньше 200?

Answer 1

Если пересчитать десятками будет 160 и 8 ложек; а если пересчитать дюжинами будет 14 дюжин
В итоге: в коробке 168 ложек.

Answer 2

Пусть число ложек в коробке равно x. Тогда из первого условия задачи следует, что:

x ≡ 8 (mod 10)

То есть, при делении x на 10 остаток равен 8. Из второго условия задачи следует, что:

x ≡ 8 (mod 12)

То есть, при делении x на 12 остаток также равен 8.

Для того чтобы найти число ложек x, мы можем использовать китайскую теорему об остатках. Для этого найдём числа m1 и m2, такие что m1·10 ≡ 1 (mod 12) и m2·12 ≡ 1 (mod 10). Тогда решение системы сравнений

x ≡ 8 (mod 10) x ≡ 8 (mod 12)

будет иметь вид x ≡ 8·m2·12 + 8·m1·10 (mod 120), где 0 ≤ x < 120.

Можно заметить, что m1 = 7 и m2 = 3 являются решениями соответствующих сравнений. Поэтому:

x ≡ 8·3·12 + 8·7·10 ≡ 304 (mod 120)

То есть, число ложек x может быть представлено в виде x = 120k + 304, где k – некоторое целое число.

Поскольку x > 150, то k ≥ 2. Если k = 2, то x = 544, что удовлетворяет условию задачи. Если k > 2, то x > 304 + 240 = 544, что противоречит условию задачи.

Таким образом, ответ: в коробке 544 ложки.