Question

Найдите наибольшое и наименьшее значения функции y=2x^3+3x^2-12x-1 на отрезке [-1;2]

Answer 1

Решение
Находим первую производную функции:
y' = 6x²+6 x-12
Приравниваем ее к нулю:
6x²+6 x-12 = 0
x₁  = - 2
x₂  = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-2) = 19
f(1) = - 8
f(-1) = 12
f(3) = 44
Ответ: fmin  = - 8, fmax  = 44

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;2], нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в стационарных точках (где производная функции равна нулю) и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений.

Найдем сначала стационарные точки, решив уравнение y' = 0:

y' = 6x^2 + 6x - 12

6x^2 + 6x - 12 = 0

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две стационарные точки: x = -2 и x = 1.

Теперь вычисляем значения функции в концах отрезка:

y(-1) = 2*(-1)^3 + 3*(-1)^2 - 12*(-1) - 1 = -6 y(2) = 22^3 + 32^2 - 12*2 - 1 = 1

И вычисляем значения функции в стационарных точках:

y(-2) = 2*(-2)^3 + 3*(-2)^2 - 12*(-2) - 1 = 27 y(1) = 21^3 + 31^2 - 12*1 - 1 = -8

Таким образом, наибольшее значение функции равно 27 и достигается в точке x = -2, а наименьшее значение функции равно -8 и достигается в точке x = 1.