Question

СРОЧНО Докажите, что при любом натуральном n выражение кратно 9

Answer 1

4^n + 6n - 1 применим метод математической индукции

1. n=1  4+6-1=9 да

2. предположим, что верно для n=k

4^k + 6k - 1 верно

3. докажем для n=k+1

4^(k+1) + 6(k+1) - 1 = 4*4^k + 6k + 6 - 1 = (4^k + 6k - 1) + 3*(4^k+2)

первая скобка делится на 9 по 2. надо доказать что 4^k+2 делится на 3

===============================================

Опять применим ММИ

1. k=1 4+2=6 делится на 3

2. предположим верно при k=m

4^m+2 делится на 3

3/ докажем k=m+1   4^(m+1)+2 = (4^m+2) + 3*4^m первая скобка на 3 делится по 2. второй член делится так как один из множителей кратен 3

==============================================

Итак 3*(4^k+2) кратен 9 так как скобка кратна 3 и один из членов тоже кратен 3 итого 3*3 кратно 9

доказали

Answer 2

Для доказательства того, что при любом натуральном $n$ выражение $n^2 - n$ кратно 9, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг: Для $n=1$, $n^2 - n = 1^2 - 1 = 0$, что кратно 9.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого $k$ выражение $k^2 - k$ кратно 9. Тогда рассмотрим выражение $(k+1)^2 - (k+1)$.

$(k+1)^2 - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k$

Мы можем представить это выражение в виде:

$k^2 + k = k(k-1) + k^2 - k = k(k-1) + (k^2-k)$

Поскольку $k(k-1)$ - это произведение двух последовательных натуральных чисел, то одно из них является четным, а другое нечетным. Это значит, что $k(k-1)$ кратно 2.

Также, мы предполагали, что $k^2 - k$ кратно 9, поэтому мы можем выразить $(k^2-k)$ как $9m$, где $m$ - некоторое целое число.

Итак, мы можем записать:

$k^2 + k = k(k-1) + (k^2-k) = 2\cdot 3q + 9m = 3(2q+3m)$

где $q$ - некоторое целое число.

Мы видим, что $k^2 + k$ кратно 3, и поскольку $2q+3m$ также является целым числом, мы можем заключить, что $k^2 + k$ кратно 9.

Таким образом, мы показали, что если выражение $k^2 - k$ кратно 9 для некоторого $k$, то оно также кратно 9 для $k+1$. Но мы уже знаем, что базовый шаг верен, поэтому, по принципу математической индукции, мы можем сделать вывод, что при любом натуральном $n$ выражение $n^2 - n$ кратно 9.