Question

В треугольнике ABC известно, что AB = 2, BC = 3, AC = 4, CM - медиана. Найдите длину отрезка AM.

Answer 1

Медиана - это прямая которая исходит из вершины треугольника и делит противоположную ей сторону пополам. Если АВ =2 см, то АМ=2:2=1
Ответ: АМ = 1 см

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой медианы, которая утверждает, что медиана треугольника делит противоположную ей сторону на две равные части.

Пусть точка M делит сторону AB на две равные части, то есть AM = MB = 1.

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABC:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABAC*cos(BAC)

Заменяем известные значения и находим cos(BAC):

3^2 = 2^2 + 4^2 - 224cos(BAC) 9 = 20 - 16cos(BAC) cos(BAC) = 11/16

Теперь можно найти синус угла BAC:

sin^2(BAC) = 1 - cos^2(BAC) = 1 - (11/16)^2 = 195/256 sin(BAC) = sqrt(195)/16

Обозначим точку, в которой медиана CM пересекает сторону AB, через D. Тогда MD = AM = 1.

Так как CM является медианой треугольника ABC, то она делит сторону AB пополам, то есть BD = 1.

Теперь можем применить теорему косинусов в треугольнике AMC:

AM^2 + CM^2 - 2AMCM*cos(MAC) = AC^2

Подставляем известные значения и находим cos(MAC):

1^2 + CM^2 - 21CMcos(MAC) = 4^2 CM^2 - 2CMcos(MAC) - 15 = 0 cos(MAC) = (2 + sqrt(4 + 415))/2 = (1 + sqrt(19))/2

Теперь можем найти синус угла MAC:

sin^2(MAC) = 1 - cos^2(MAC) = 1 - ((1 + sqrt(19))/2)^2 = (3 - sqrt(19))/4 sin(MAC) = sqrt(3 - sqrt(19))/2

Наконец, применяем теорему синусов в треугольнике AMC:

AM/sin(MAC) = CM/sin(ACM)

Подставляем известные значения и находим длину отрезка AM:

1/sqrt(3 - sqrt(19)) = CM/0.5 CM = 1/sqrt(3 - sqrt(19)) * 0.5 = sqrt(3 + sqrt(19))/4

Ответ: длина отрезка AM равна 1, длина отрезка CM равна sqrt(3 + sqrt(19))/4.