Question

У трёх школьников была одна лопата. Они по очереди вскапывают огород, причём из-за того, что лопата всего одна, работают они по очереди. Оказалось, что каждый из них работает столько времени, за сколько 2 других школьника вскопают половину огорода. Работая таким образом, они вскопали весь огород. Во сколько раз быстрее они бы вскопали огород, если бы у них было 3 лопаты и они работали одновременно? Найдите ответ с ошибкой не более, чем 0.1 и введите в поле ответа.

Answer 1

Дадим некопающим лопаты, пусть они копают такие же огороды.

Пока первый копает основной огород, остальные вскопают половину дополнительного огорода; пока копает второй - вторую половину дополнительного огорода; пока копает третий - еще половину дополнительного.

Получается, если все копают только одной лопатой, вскопан будет только 1 огород, а если копают все - 1 основной огород и 1,5 дополнительных, всего 2,5 огорода.

Поэтому если бы они работали одновременно, вскопали бы огород в 2,5 раза быстрее

Answer 2

Пусть первый школьник вскапывает огород первым, затем второй и третий следуют за ним. Пусть время, за которое первый школьник вскапывает половину огорода, равно $t$.

Тогда время, за которое два других школьника вскапывают половину огорода, равно $2t$. Значит, каждый из них работает также $2t$.

Значит, первый школьник вскапывает половину огорода за $t$, затем второй и третий работают $2t$ каждый и вскапывают оставшуюся половину огорода.

Таким образом, первый школьник работает $t$, а второй и третий вместе работают $4t$. Всего время работы равно $t + 4t = 5t$.

Если бы у них было 3 лопаты и они работали одновременно, то время работы было бы равно времени, за которое 3 школьника вскопают огород. Пусть это время равно $T$.

Тогда каждый школьник работает за время $T/3$. Значит, они вскопают весь огород за время $T/3$.

Таким образом, отношение времени, за которое они вскопали огород по очереди, к времени, за которое они бы вскопали огород, работая одновременно, равно:

$\frac{5t}{T/3} = \frac{15t}{T}$

Нам нужно найти это отношение в виде числа, поэтому оставим его в таком виде.

Заметим, что если два школьника работают вдвое быстрее, то время работы вдвое меньше. Значит, отношение времени работы по очереди к времени работы одновременно равно обратному отношению числа работающих людей: $\frac{1}{3}$. То есть:

$\frac{15t}{T} = \frac{1}{3}$

Отсюда получаем:

$T = 45t$

Таким образом, если бы у них было 3 лопаты и они работали одновременно, то они вскопали бы огород за время, равное $T/3 = 15t$. Отношение времени, за которое они вскопали огород по очереди, к времени, за которое они бы вскопали огород, работая одновременно, равно:

$\frac{5t}{15t} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\boxed{0.333}$ (с погрешностью не б