Question

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F и G — середины сторон AB, BC и AD соответственно, причём GE⊥AB, GF⊥BC. Найдите угол ACD. В качестве ответа введите число, чему равен угол ACD в градусах.

Answer 1

Ну, давай разбираться!

1-ое мое действие нарисовал рисунок( то, что происходит в задаче)

2-ое действие будем рассматривать два треугольника, а именно AGB и BGC: и видим, что GE-медиана, высота и биссектриса треугольника AGB, GF-аналогично =>

DG = AG = BG = CG => G – центр окружности, описанной около данного четырёхугольника ABCD.  ∠ACD = 90°,  так как он э вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности

Ответ : ∠ACD = 90°

Answer 2

Обозначим через $M$ точку пересечения отрезков $EG$ и $CD$. Так как $E$ и $G$ являются серединами соответствующих сторон, то $MG$ и $CE$ являются медианами треугольника $ACD$, и следовательно, $MG = \frac12 CD$ и $CE = \frac23 CD$. Из прямоугольности треугольников $GFE$ и $GEC$ следует, что $GF = GE = EC/2 = CD/3$. Так как $F$ является серединой стороны $BC$, то $BF = CF$, откуда $BC = 2BF = 2CF$. Таким образом, $BC = \frac23 CD$.

Так как $GF\parallel BC$ и $GF = CD/3$, то $CD/3 \parallel BC$. Следовательно, углы $BCD$ и $CDE$ равны. Аналогично, углы $ACD$ и $DCM$ равны. Итак, треугольник $DCM$ равнобедренный, и угол $DCM$ равен $180^\circ - \angle CDM - \angle CMD = 180^\circ - \angle CDE - \angle CED = 180^\circ - \angle BCD$. С другой стороны, угол $ACD$ равен $180^\circ - \angle A - \angle BCD$.

Объединим все полученные равенства и получим: $\angle ACD = (180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle BCD) - 180^\circ = 180^\circ - \angle A - \angle BCD.$

Таким образом, угол $ACD$ равен $\angle ACD = 180^\circ - \angle A - \angle BCD$. Осталось найти угол $BCD$.

Так как $GF\perp BC$ и $GF\perp GE$, то $BC\parallel GE$, и следовательно, угол $BCD$ равен углу $GEM$. Треугольники $GFE$ и $GEC$ подобны соответственно треугольникам $ABC$ и $ACD$. Таким образом,

$\frac{GF}{GE} = \frac{BC}{AB} \quad \text{и} \quad \frac{GE}{CE} = \frac{AB}{AD}.$

Используя выражения для $GF$, $GE$, $BC$, $AB$ и $AD$, найдем:

$\frac{CD}{6} \cdot \frac{2}{CD/3} = \frac{2}{\frac23 CD} \cdot \frac{2CD}{3}.$

Сокращая, получим $4 = 4$, что верно. Таким образом, треугольники $GFE$ и $ABC$ подобны, и угол $BAC$ равен углу $GE