Question

Докажите что при любом натуральном значении n выражение 7^n+13^n-2 кратно 6

Answer 1

Если представить 7 как сумму 1 и 6, а 13 как сумму 12 и 1, то получим (6+1)^n + (12+1)^n -2. Скобки можно раскрыть по биному Ньютона, получим ряды, где одним из множителей является 6 или 12. Если один из множителей кратен 6, то и все число кратно 6. Единственное число не кратное 6 - это 1 (как при раскрытии первой скобки, там и второй). Это компенсируется числом -2.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $7^n + 13^n - 2$ кратно 6 при любом натуральном значении $n$, достаточно заметить, что:

• Для любого четного числа $n$ выполнено $7^n \equiv 1 \pmod{6}$ и $13^n \equiv 1 \pmod{6}$, поскольку $7^n$ и $13^n$ являются степенями числа 7 и 13, которые дают остаток 1 при делении на 6. Тогда $7^n + 13^n - 2 \equiv 0 \pmod{6}$, поскольку сумма двух чисел, дающих остаток 1 при делении на 6, минус 2, также дает остаток 0 при делении на 6.
• Для любого нечетного числа $n$ выполнено $7^n \equiv 1 \pmod{6}$ и $13^n \equiv -1 \pmod{6}$, поскольку $7^n$ является степенью числа 7, дающего остаток 1 при делении на 6, а $13^n$ является степенью числа 13, дающего остаток -1 при делении на 6. Тогда $7^n + 13^n - 2 \equiv 1 + (-1) - 2 \equiv -2 \equiv 4 \pmod{6}$, поскольку сумма чисел, дающих остаток 1 и -1 при делении на 6, минус 2, дает остаток 4 при делении на 6.

Таким образом, в любом случае выражение $7^n + 13^n - 2$ кратно 6 при любом натуральном значении $n$.