Question

Исследовать функцию с помощью первой производной... f(x)=x^4-18x^2+4

Answer 1

$f(x)=x^4-18x^2+4; \\ f'(x)=4x^3-36x; \\ f'(x)=0 \\ 0=4x^3-36x; \\ 4x(x^2-9)=0 \\ x=0; x=-3;x=3.$

$[-oo;-3]$

Функция убывается, то есть идёт вниз

$[-3;0]$

Функция возврастая, то есть идёт вверх

$[0;3]$

Функция убывается.

$[3;+oo]$

Функция возврастает

Функция

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = x^4 - 18x^2 + 4 с помощью первой производной, мы сначала найдем производную функции.

Производная функции f(x) вычисляется путем дифференцирования каждого члена функции по отдельности. Применим правило степенной производной для каждого члена:

f'(x) = 4x^3 - 36x

Теперь, когда у нас есть производная, мы можем проанализировать функцию, используя ее значения и точки экстремумов.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 4x^3 - 36x = 0

Выносим общий множитель: 4x(x^2 - 9) = 0

Получаем два решения: x = 0 x^2 - 9 = 0

Решая второе уравнение, получим: x^2 = 9 x = ±3

Итак, у нас есть три возможных точки экстремума: x = 0, x = 3, x = -3.

2. Определим интервалы, где функция возрастает или убывает:

Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале и вычислим знак производной в этих точках.

Выберем тестовые точки: a) x < -3: выберем x = -4 f'(-4) = 4(-4)^3 - 36(-4) = -256 + 144 = -112 (отрицательное значение) Таким образом, на интервале x < -3 функция убывает.

b) -3 < x < 0: выберем x = -1 f'(-1) = 4(-1)^3 - 36(-1) = 4 + 36 = 40 (положительное значение) Таким образом, на интервале -3 < x < 0 функция возрастает.

c) 0 < x < 3: выберем x = 1 f'(1) = 4(1)^3 - 36(1) = 4 - 36 = -32 (отрицательное значение) Таким образом, на интервале 0 < x < 3 функция убывает.

d) x > 3: выберем x = 4 f'(4) = 4(4)^3 - 36(4) = 256 - 144 = 112 (положительное значение) Таким образом, на интервале x > 3 функция возрастает.

3. Определим экстремумы функции:

Для этого найдем значения функции в каждой из найденных точек экстремума.

a) При x = 0: f(0) = 0^4 - 18(0)^2 + 4 = 0 - 0