Question

Складывая многозначное число с числом, полученным из него некоторый перестановкой цифр, ученик получил число, состоящее из одних девяток. Не ошибся ли он? Докажите​

Answer 1

Ответ:

Не ошибся.

Пошаговое объяснение:

3663+6336=9999

4536+5463=9999

1364527890+863542109=9999999999

Таких примеров бесконечное множество

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно провести доказательство от противного. Предположим, что ученик ошибся и не получил число, состоящее из одних девяток.

Пусть ученик взял многозначное число, представленное как $abcde$, где $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ - цифры в числе. Пусть он также сформировал число, переместив цифры и получив число $edcba$.

Тогда сумма этих двух чисел будет:

$abcde + edcba$

Мы можем записать эти числа в виде суммы по разрядам:

$abcde + edcba = (a \cdot 10^4 + b \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + d \cdot 10 + e) + (e \cdot 10^4 + d \cdot 10^3 + c \cdot 10^2 + b \cdot 10 + a)$

Объединяя одинаковые слагаемые, получим:

$abcde + edcba = (a + a) \cdot 10^4 + (b + b) \cdot 10^3 + (c + c) \cdot 10^2 + (d + d) \cdot 10 + (e + e)$

Таким образом, мы получили число, в котором каждая цифра равна сумме двух соответствующих цифр в исходном числе.

Теперь давайте рассмотрим возможные значения каждой цифры в исходном числе и их сумму:

• Цифра 9: Если исходная цифра равна 9, то сумма будет 9 + 9 = 18. Но в десятичной системе счисления максимальное значение цифры - 9. Таким образом, сумма цифр не может быть равна 18, и мы можем исключить цифру 9.

• Цифра 8: Если исходная цифра равна 8, то сумма будет 8 + 8 = 16. Опять же, это превышает максимальное значение цифры в десятичной системе. Таким образом, мы можем исключить цифру 8.

• Цифра 7: Если исходная цифра равна 7, то сумма будет 7 + 7 = 14. Это число в пределах допустимого диапазона цифр, поэтому возможна ситуация, когда цифра 7 встречается в исходном числе.

• Цифра 6: Если исходная цифра равна 6, то сумма будет 6 + 6 = 12. Это число также в пределах допустимого диапазона цифр