Question

Сформулируйте и докажите теорему, выражающую неравенство треугольников ​

Answer 1

Ответ:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство: Проведём CD=CB, AC+CD=AD. ∠1=∠2. В треугольнике АВD требуется доказать, что АВ<AD. ∠2=∠1<∠ABD. Пользуясь теоремой о соотношении углов и сторон, АВ <AD=AC+CB, что и требовалось доказать.

Пошаговое объяснение:

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство: Проведём CD=CB, AC+CD=AD. ∠1=∠2. В треугольнике АВD требуется доказать, что АВ<AD. ∠2=∠1<∠ABD. Пользуясь теоремой о соотношении углов и сторон, АВ <AD=AC+CB, что и требовалось доказать.

Answer 2

Теорема о неравенстве треугольников утверждает, что для любых сторон треугольника A, B и C выполняется неравенство:

A + B > C B + C > A C + A > B

То есть, сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше, чем длина третьей стороны.

Доказательство:

Предположим, что даны стороны A, B и C и они образуют треугольник.

Мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника, где катеты равны сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем записать:

C² = A² + B² (1)

Теперь допустим, что A + B ≤ C. Тогда мы можем написать:

A² + 2AB + B² ≤ C² (2)

Здесь мы использовали квадратичный трехчлен (A + B)² = A² + 2AB + B².

Но мы знаем из (1), что C² = A² + B², поэтому мы можем заменить C² на A² + B² в (2):

A² + 2AB + B² ≤ A² + B²

Упрощая выражение, мы получаем:

2AB ≤ 0

Это невозможно, так как A и B положительны по определению сторон треугольника.

Следовательно, предположение, что A + B ≤ C, неверно, и мы доказали, что A + B > C.

Аналогично, мы можем доказать, что B + C > A и C + A > B.

Таким образом, теорема о неравенстве треугольников доказана.