Question

Решите уравнения, пожалуйста 1). |x+3|+2|x-1|=4 2). | |x+2|+1|=1 3). |x+1|=x-4 4). | |3x-2|+2|=x

Answer 1

Огоооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

Answer 2

1. Начнем с того, что для любого $a$ верно $|a|=\sqrt{a^2}$. Применим это свойство для обоих модулей в данном уравнении:

$$\sqrt{(x+3)^2} + 2\sqrt{(x-1)^2} = 4.$$

Раскроем квадраты под корнями и упростим:

$$\sqrt{x^2+6x+9} + 2\sqrt{x^2-2x+1} = 4.$$

Обозначим $y = x^2+6x+9$ и $z = x^2-2x+1$. Тогда $y$ и $z$ неотрицательны, и уравнение примет вид:

$$\sqrt{y} + 2\sqrt{z} = 4.$$

Возводя это уравнение в квадрат, получаем:

$$y + 4z + 4\sqrt{yz} = 16.$$

Используя обозначения для $y$ и $z$, получаем:

$$x^2+6x+9 + 4(x^2-2x+1) + 4\sqrt{(x^2+6x+9)(x^2-2x+1)} = 16.$$

Упрощая, получаем квадратное уравнение:

$$5x^2 - 10x - 7 + 4\sqrt{(x^2+6x+9)(x^2-2x+1)} = 0.$$

Решаем его с помощью стандартных методов для квадратных уравнений. Для удобства обозначим $u = x^2+6x+9$ и $v = x^2-2x+1$. \begin{align*} 5x^2 - 10x - 7 + 4\sqrt{(x^2+6x+9)(x^2-2x+1)} &= 0 \ 5u + 4\sqrt{uv} - 10(u-v) - 7 &= 0 & \text{(подставляем $u$ и $v$)} \ 4\sqrt{uv} &= 5u - 10v + 7 & \ 16uv &= (5u - 10v + 7)^2 & \text{(возводим обе части в квадрат)} \ 16(x^2+6x+9)(x^2-2x+1) &= (5(x^2+6x+9) - 10(x^2-2x+1) + 7)^2 \ 16(x^4+4x^3-13x^2+12x+9) &= (15x^2-20x+52)^2 \ 16x^4 + 64x^3 - 208x^2 + 192x + 144 &= 225x^4 - 600x^3 + 784x^2 - 800x + 2704 \ 209x^4 - 664x^3 + 992x^2 - 992x + 2560 &= 0 \ x^4 - 4x^3 + 4x^2 -