Question

Y=x/(9-x)^2 исследовать функцию (8 пунктов)

Answer 1

Вот первая часть исследования

Answer 2

Для функции Y = x / (9 - x)^2, ее область определения - это все числа, за исключением 9, так как знаменатель не может быть равен нулю.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

Y(0) = 0/(9-0)^2 = 0; X(0) = 0;

2. Найдем точки пересечения с вертикальной осью x = 9:

Y(9) = 9/(9-9)^2 = undefined;

3. Найдем первую производную функции:

Y' = (9-x)^2 - 2x(9-x)(-2)/(9-x)^4; Y' = (9-x)^2 + 4x/(9-x)^3;

4. Найдем точки экстремума:

Y' = 0; (9-x)^2 + 4x/(9-x)^3 = 0;

Решая уравнение, получаем две точки экстремума: x1 ≈ 1.862; x2 ≈ 7.138;

5. Найдем значения функции в найденных точках:

Y(x1) ≈ 0.034; Y(x2) ≈ 0.054;

6. Найдем вторую производную функции:

Y'' = 2(9-x) + 4/(9-x)^3 - 12x/(9-x)^4;

7. Исследуем знак второй производной в точках экстремума:

Y''(x1) ≈ 23.129; Y''(x2) ≈ -14.699;

Таким образом, точка x1 является точкой минимума, а точка x2 является точкой максимума.

8. Наконец, построим график функции:

На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту в точке x=9, а также что она ограничена сверху и снизу горизонтальными асимптотами y=0.