Question

Бабушка решила разделить пряники между внуками поровну. Она подсчитала, что если бы пряников было на 14 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы пряников было больше на 5 штук, то после деления поровну осталось бы два лишних пряника. Сколько у бабушки внуков?

Answer 1

Пусть у бабушки было n пряников, m внуков, тогда
n+14=xm,  х количество пряников каждому внуку 
n+5=ym+2,  у количество пряников каждому внуку 

Вычтем одно уравнение из второго:
n+14-n-5=xm-ym-2
хm-ym-2=9
m(x-y)=11, поскольку 11 простое число 11=1*11, то
х-у=1
m=11, значит у бабушки 11 внуков

Ответ 11 внуков

Answer 2

Пусть $x$ - количество внуков у бабушки, а $y$ - исходное количество пряников.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

$y + 14 = kx$ - количество пряников на 14 штук больше, чем исходное число, и их можно разделить поровну на $x$ внуков.

$y + 5 = n \cdot x + 2$ - количество пряников на 5 штук больше, чем исходное число, но после деления на $x$ внуков, остаются 2 лишних пряника.

Здесь $k$ и $n$ - некие целые числа, которые мы не знаем, но они не важны для нахождения ответа на вопрос задачи.

Решим систему уравнений:

$y + 14 = kx$

$y + 5 = nx + 2$

Вычтем из первого уравнения второе:

$9 = (k - n)x$

Так как $k$ и $n$ - целые числа, то разность $k - n$ тоже является целым числом. Так как $9$ - простое число, то у нас только два варианта: $k-n=1$ и $x=9$, или $k-n=9$ и $x=1$. Рассмотрим оба случая:

1. $k-n=1$ и $x=9$

Из первого уравнения получаем:

$y + 14 = 9k$

$y = 9k - 14$

Подставляем во второе уравнение:

$9k - 14 + 5 = n \cdot 9 + 2$

$9k - 7 = 9n$

$1 = n - k$

$k$ и $n$ - целые числа, поэтому $n - k$ должно быть равно $\pm 1$ или $0$. Если $n-k=0$, то $n=k$ и $9k-14=y$, что противоречит условию задачи (в этом случае $y$ должно быть на 5 больше, чем кратное 9). Если $n-k=-1$, то $n=k-1$ и $9k-14=y$, что также противоречит условию задачи (в этом случае $y$ должно быть на 14 больше, чем кратное 9). Поэтому в этом случае решения нет.

2. $k-n=9$ и $x=1$

Из первого уравнения получаем:

$y + 14 = k$

$y = k - 14$

Подставляем во второе уравнение:

$k - 14 + 5 = n \cdot 1 + 2$

$k - 7 = n$

$k - n = 7$

Так как $k - n = 7$, то $k$ и $n$ - целые числа, которые