Question

Докажите, что если a+b+c+d = 0 и ab+cd+ac+bc+ad+bd = 0, то a = b = c = d = 0.

Answer 1

Если a=b=c=d=0,то
1 пример a+b+c+d = 0 0+0+0+0=0 верно
2 пример ab+cd+ac+bc+ad+bd 0*0+0*0+0*0+0*0+0*0+0*0=0

Answer 2

Для доказательства данного утверждения мы будем использовать метод противоречия.

Предположим, что существуют такие ненулевые значения a, b, c и d, для которых выполняются условия a+b+c+d=0 и ab+cd+ac+bc+ad+bd=0.

Мы можем записать второе уравнение в виде:

(ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) = 0

Так как a+b+c+d=0, мы можем выразить одну из переменных через остальные:

d = -(a+b+c)

Подставим это выражение в первое уравнение:

a+b+c-(a+b+c)=0

Таким образом, у нас есть только три независимых переменных, и мы можем выразить одну из них через другие две. Например, можно выразить c через a и b:

c = -(a+b+d)

Теперь мы можем записать второе уравнение в следующем виде:

(ab + (-d(a+b)) + (a(-d-b)+b(-d-a))) = 0

После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых, мы получаем:

-2ab - 2ad - 2bd = 0

Поделив это уравнение на -2, мы получаем:

ab + ad + bd = 0

Мы можем выразить переменную d через a, b и c:

d = -(a+b+c)

Подставляя это выражение в последнее уравнение, мы получаем:

ab + a(-(a+b+c)) + b(-(a+b+c)) = 0

После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых, мы получаем:

-2ab - ac - bc = 0

Мы можем выразить переменную c через a и b:

c = -(a+b+d)

Подставляя это выражение в последнее уравнение, мы получаем:

-2ab - a(-(a+b+d)) - b(-(a+b+d)) = 0

После раскрытия скобок и сокращения одинаковых слагаемых, мы получаем:

-2ab - ad - bd = 0

Это последнее уравнение совпадает с уравнением, которое мы получили ранее. Таким образом, мы пришли к противоречию: мы предположили, что существуют ненулевые значения a, b, c и d, удовлетворяющие условиям a+b+c+d=0 и ab+cd+ac+bc+ad+bd=0, но получили, что эти значения не могут быть ненулевыми одновременно.

Следовательно, мы можем заключить, что единственным решением этих уравнений является a=b