Question

Решите уравнение x/x+4+4/x-4=20/x^2-16

Answer 1

$\frac{x}{x+4} +\frac{4}{x-4} =\frac{20}{x^{2} -16}, x\neq -4, x\neq4 \\ \frac{x}{x+4}+\frac{4}{x-4} - \frac{20}{x^{2} -16} = 0\\ \frac{x}{x+4} + \frac{4}{x-4} -\frac{20}{(x-4)(x+4)} =0\\ \frac{x(x-4)+4(x+4)-20}{(x-4)(x+4)}=0\\ x(x-4)+4(x+4)-20=0\\ x(x-4)+4(x+4)=20\\ x^{2} -4x+4x+16=20\\ x^{2} +16=20\\ x^{2} =20-16\\ x^{2} =4\\ x=+-2\\ \left \{ {{x=-2} \atop {x=2}} \right. , x\neq -4, x\neq 4\\ \left \{ {{x=-2} \atop {x=2}} \right.$

Answer 2

Для начала, заметим, что уравнение содержит дроби с знаменателями (x+4), (x-4) и (x^2-16) в правой части. Заметим, что знаменатель (x^2-16) можно разложить на множители:

x^2 - 16 = (x+4)(x-4)

Подставим это выражение в уравнение и упростим его:

x/(x+4) + 4/(x-4) = 20/((x+4)(x-4))

Перемножим обе стороны на (x+4)(x-4):

x(x-4) + 4(x+4) = 20

Раскроем скобки:

x^2 - 4x + 4x + 16 = 20

Упростим:

x^2 = 4

Решим это уравнение:

x = ±2

Однако, мы должны проверить корни на допустимость, то есть мы должны убедиться, что они не приводят к делению на ноль в знаменателе.

При x = 2:

• В знаменателе (x+4) станет 6, что не равно нулю.
• В знаменателе (x-4) станет -2, что также не равно нулю.
• В знаменателе (x^2-16) станет 0, что является недопустимым значением.

При x = -2:

• В знаменателе (x+4) станет 2, что не равно нулю.
• В знаменателе (x-4) станет -6, что также не равно нулю.
• В знаменателе (x^2-16) станет 0, что является недопустимым значением.

Таким образом, единственным корнем уравнения является x = 2.