Question

Решите неравенство x^2+2x-3 больше 0

Answer 1

Ответ:

(-∞; -3)∪(1; +∞)

Пошаговое объяснение:

Дано неравенство x²+2·x-3>0.

Рассматривается функцию y=x²+2·x-3. Находим нули функции:

x²+2·x-3=0 ⇔ D=2²-4·1·(-3)=4+12=16=4², x₁=(-2-4)/2=-3, x₂=(-2+4)/2=1.

Значит, только при x₁=-3 и x₂=1 функция y=x²+2·x-3 обращается в 0.

Решение можно продолжит несколькими способами:

1-способ. Используем свойства параболы:

а) коэффициент перед x² равен 1>0 и поэтому ветви направлены вверх;

б) так как ветви параболы направлены вверх и пересекает ось Ox в точках x₁=-3 и x₂=1, то только на промежутке (-3 ; 1) функция y=x²+2·x-3 отрицательна;

в) в силу вышесказанных x²+2·x-3>0 только на множестве

(-∞; -3)∪(1; +∞).

2-способ. Используем метод интервалов:

а) так как x₁=-3 и x₂=1 функция y=x²+2·x-3 обращается в 0, то функция представима в виде y=(x+3)·(x-1);

б) точки x₁=-3 и x₂=1 делят ось Ox на промежутки (-∞; -3), (-3 ; 1) и (1; +∞), в каждом из которых функция сохраняет знак;

в) при -5∈(-∞; -3): y=(-5)²+2·(-5)-3=25-10-3=12>0, то есть для любого

x∈(-∞; -3) функция y=x²+2·x-3>0;

при 0∈(-3; 1): y=0²+2·0-3=0-0-3= -3<0, то есть для любого x∈(-3; 1) функция y=x²+2·x-3<0;

при 2∈(1; +∞): y=2²+2·2-3=4+4-3=5>0, то есть для любого

x∈(1; +∞) функция y=x²+2·x-3>0;

г) функция y=x²+2·x-3>0 при x∈(-∞; -3)∪(1; +∞), отсюда следует, что x²+2·x-3>0 только на множестве

(-∞; -3)∪(1; +∞).

Answer 2

Чтобы решить неравенство x^2+2x-3 > 0, мы можем использовать метод интервалов знакопеременности. Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2+2x-3=0, которые являются точками, где функция f(x) = x^2+2x-3 пересекает ось x:

scssCopy code
x^2+2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
x=-3 или x=1

Эти корни разбивают вещественную ось на три интервала:

• (-∞, -3)
• (-3, 1)
• (1, +∞)

Мы можем выбрать тестовую точку из каждого интервала и проверить знак f(x) на этом интервале. Например, если мы возьмем x=-4, то f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 7 > 0, что означает, что f(x) > 0 на интервале (-∞, -3). Аналогично, если мы возьмем x=0, то f(0) = -3 < 0, что означает, что f(x) < 0 на интервале (-3, 1). Наконец, если мы возьмем x=2, то f(2) = 3 > 0, что означает, что f(x) > 0 на интервале (1, +∞).

Таким образом, решением неравенства x^2+2x-3 > 0 является объединение интервалов, на которых f(x) > 0, т.е. (-∞, -3) ∪ (1, +∞). Это можно записать в виде неравенства:

Copy code
x < -3 или x > 1

Или в виде интервальной записи:

scssCopy code
(-∞, -3) ∪ (1, +∞)