Question

У некоторой геометрической прогрессии сумма членов на нечётных местах равна 21/16,а сумма членов на чётных местах равна 21/32.Найти знаменатель этой прогрессии,если число членов прогрессии чётное.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Докажем, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю прогрессии. А именно, 21/32:(21/16)=21/32*16/21=1/2

Распишем отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах,

(в₂+в₄+в₆+...в₂ₙ)/(в₁+в₃+в₅+...в₂ₙ-₁)=q*(в₁+в₃+в₅+...в₂ₙ-₁)/(в₁+в₃+в₅+...в₂ₙ-₁)=q

Ответ 1/2

Answer 3

Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через $q$, а первый член через $a_1$. Поскольку число членов в прогрессии четное, то предположим, что прогрессия имеет вид: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{n-1}, a_n$, где $n$ — четное число.

Тогда сумма членов на нечетных местах равна $S_1 = a_1 + a_3 + \ldots + a_{n-1} = a_1 \cdot \frac{1-q^{n/2}}{1-q}.$

Аналогично, сумма членов на четных местах равна $S_2 = a_2 + a_4 + \ldots + a_n = a_1\cdot q \cdot \frac{1-q^{n/2}}{1-q}.$

По условию задачи $S_1 = 21/16$ и $S_2 = 21/32$, поэтому

$$\begin{cases} a_1 \cdot \dfrac{1-q^{n/2}}{1-q} = \dfrac{21}{16}, \\ a_1\cdot q \cdot \dfrac{1-q^{n/2}}{1-q} = \dfrac{21}{32}. \end{cases}$$

Разделим одно уравнение на другое:

$$2q = \frac{a_1}{a_1\cdot q} = \frac{1-q}{1+q}.$$

Решая это уравнение относительно $q$, получаем

$q = \frac{1}{3}.$

Теперь подставляем $q$ в первое уравнение:

$a_1\cdot \frac{1-(1/3)^{n/2}}{1-1/3} = \frac{21}{16}.$

Упрощаем:

$a_1\cdot \frac{3(1-(1/3)^{n/2})}{2} = \frac{21}{16}.$

Отсюда

$a_1 = \frac{7\cdot 2}{3 \cdot 3^{n/2} - 2}.$

Итак, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = 1/3$.