Question

По кругу написано 20 чисел, каждое из которых равно сумме двух своих соседей. Найдите сумму чисел. а)0 б)1 в)2 г)3

Answer 1

Ответ б-1, два соседа это значит 1+1=2 соседа ответ б

Answer 2

Заметим, что первое число равно сумме двадцатого и второго чисел:

$a_1 = a_{20} + a_2$

Аналогично, для каждого числа $a_i$ с номером от 2 до 19, справедливо равенство:

$a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$

Таким образом, для каждого $i$ от 2 до 19, мы можем выразить $a_{i-1}$ и $a_{i+1}$ через $a_i$:

$a_{i-1} = a_{i} - a_{i+1}$ $a_{i+1} = a_{i} - a_{i-1}$

Тогда первое число можно выразить через второе:

$a_1 = a_{20} + a_2 = a_{19} + a_1 + a_3 - a_1 = a_{19} + a_3$

Из этого выражения и равенства $a_2 = a_{1} + a_3$ можно выразить $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = a_{19} + a_3 = a_{18} + a_2 + a_4 - a_2 = a_{18} + a_4 = \ldots = a_3 + a_{19} = a_2 + a_{18} = a_{20} + a_{16} = a_{19} + a_{17}$

Таким образом, все числа $a_1, a_2, \ldots, a_{20}$ равны между собой, их сумма равна $20a_1$. Из уравнения $a_1 = a_{20} + a_2$ следует, что $a_1 = \frac{1}{3}$, так как два его соседа равны $\frac{2}{3}$. Следовательно, сумма всех чисел равна $20a_1 = \frac{20}{3}$.

Ответ: б) 1.