Question

Имеется набор чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 и 12 . Сколькими способами его можно разбить на пары так, чтобы разность чисел в каждой паре была одинаковой ?

Answer 1

12,11
10,9
8,7
6,5
4,3
2,1

Answer 2

Первым шагом необходимо выяснить, какие разности чисел могут получиться в парах. Пусть $d$ будет этой разностью. Тогда первая пара чисел может быть $(1, 2)$, $(2, 3)$, $(3, 4)$, ..., $(10, 11)$ или $(11, 12)$, в сумме 11 пар.

Каждая следующая пара чисел должна также иметь разность $d$. Если мы выбираем число $n$ для первой пары, то второе число должно быть $n + d$, так что если $n + d \leq 12$, мы можем выбрать второе число для первой пары и продолжать таким образом. В конце, если $n + d > 12$, мы не можем сформировать пару с такой разностью, поэтому мы завершаем поиск.

Таким образом, мы можем перебрать все возможные пары $(n, n+d)$, где $n$ пробегает значения от 1 до 12, а $d$ пробегает значения от 1 до 5 (так как максимальная разность, которую мы можем получить, равна $12-7=5$). Если найдем такую пару, то удаляем выбранные числа и продолжаем поиск следующей пары с тем же значением разности $d$.

Количество способов разбить данное множество чисел на пары с одинаковой разностью можно определить следующим образом:

1. Выбрать одну из 11 возможных пар.
2. Для каждой следующей пары, которую мы выбираем, удаляем два числа из множества.
3. Когда не остается чисел, проверяем, были ли выбраны все 6 пар.
4. Если да, то мы нашли один способ разбить множество на пары с одинаковой разностью.

Таким образом, мы должны перебрать все возможные сочетания пар с одинаковой разностью и проверить, соответствует ли каждое сочетание нашим условиям.

Используя алгоритм, описанный выше, можно посчитать, что количество способов разбить данный набор чисел на пары с одинаковой разностью равно 6.