Question

∫₀¹x^3dx/√(4-x^8)Терміново. Допоможіть

Answer 1

$\int\limits^1_0 {\frac{x^{3}}{ \sqrt{4-x^{8}} }} \, dx = \int\limits^1_0 {\frac{1}{ \sqrt{4-x^{8}} }} \, d(x^{4} ), x^{4}=t, x^{8}=t^{2}, \int\limits^1_0 {\frac{1}{ 4\sqrt{4-t^{2}} }} \, dt=\frac{1}{4}arcsin(\frac{t}{2})$
$> <img src=$

Answer 2

Щоб розв'язати цей інтеграл, спочатку виконаємо заміну. Поставимо $u = 4 - x^8$, тоді $du = -8x^7dx$. З цього випливає, що $x^7dx = -\frac{1}{8}du$.

Замінюючи змінну, отримаємо нові межі інтегрування: при $x = 0$ отримуємо $u = 4$, а при $x = 1$ отримуємо $u = 4 - 1^8 = 3$.

Тепер інтеграл має вигляд: $\int_{4}^{3} \frac{-x^3}{8\sqrt{u}} du$

Застосуємо заміну меж: $u = t^2$, тоді $du = 2tdt$.

Межі змінюються: при $u = 4$ отримуємо $t = 2$, а при $u = 3$ отримуємо $t = \sqrt{3}$.

Замінюючи змінну, отримаємо новий інтеграл: $\int_{2}^{\sqrt{3}} \frac{-x^3}{8\sqrt{t^2}} \cdot 2tdt = \int_{2}^{\sqrt{3}} \frac{-x^3}{4t} dt$

Зауважимо, що $x = (4 - u)^{\frac{1}{8}} = (4 - t^2)^{\frac{1}{8}}$.

Підставляючи це значення, ми отримуємо: $\int_{2}^{\sqrt{3}} \frac{-(4 - t^2)^{\frac{3}{8}}}{4t} dt$

На жаль, цей інтеграл не можна обчислити відразу в явному вигляді. Можна використати чисельні методи для наближеного обчислення цього інтегралу, такі як метод Сімпсона або чисельне інтегрування методом прямокутників.

Якщо вам потрібно точне значення цього інтегралу, рекомендую використати математичне програмне забезпечення, таке як Mathematica або MATLAB, які мають можливість обчислювати інтеграли у вигляді символьних виразів.