Question

Решите уравнение: Sin^2x=2cos^2x+2cosx

Answer 1

Sin^2x=2cos^2x+2cosx
sin^2x-2cos^2x-2cosx=0
1-cos^2x-2cos^2x-2cosx
1-3cos^2x-2cosx=0
замена
1-3t^2-2t=0
x1= 1/3
x2=-1
вкз
cosx=1/3 
cosx=-1
x=arccos(1/3)+2kп,k∈ Z
x=-arccos(1/3)+2kп,k∈ Z
x=п+2kп,k ∈ Z
Ответ: x=arccos(1/3)+2kп,k∈ Z
x=-arccos(1/3)+2kп,k∈ Z
x=п+2kп,k ∈ Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы выразить все функции через одну из них.

Начнем с тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Перепишем уравнение с учетом этого тождества: 1 - cos^2(x) = 2cos^2(x) + 2cos(x)

Теперь заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)): 1 - (1 - sin^2(x)) = 2(1 - sin^2(x)) + 2cos(x)

Раскроем скобки: 1 - 1 + sin^2(x) = 2 - 2sin^2(x) + 2cos(x)

Упростим: sin^2(x) = 2 - 2sin^2(x) + 2cos(x)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону: 3sin^2(x) - 2cos(x) - 2 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его, используя формулу дискриминанта:

sin(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = -2 и c = -2.

Вычислим значения:

sin(x) = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3) = (2 ± √(4 + 24)) / 6 = (2 ± √28) / 6 = (2 ± 2√7) / 6

Таким образом, получаем два возможных значения для sin(x):

sin(x) = (2 + 2√7) / 6 или sin(x) = (2 - 2√7) / 6

Чтобы найти соответствующие значения cos(x), воспользуемся тождеством: sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Для первого значения sin(x): sin^2(x) = ((2 + 2√7) / 6)^2 cos^2(x) = 1 - ((2 + 2√7) / 6)^2

Для второго значения sin(x): sin^2(x) = ((2 - 2√7) / 6)^2 cos^2(x) = 1 - ((2 - 2√7) / 6)^2

Теперь извлечем квадратные корни, чтобы найти конкретные значения sin(x), cos(x) и x:

Для первого значения sin(x): sin(x) ≈ (2 + 2√7) / 6 cos(x) ≈ √(1 - ((2 + 2√7) / 6)^2) x ≈ arcsin((2 + 2√7) / 6)

Для второго значения sin(x): sin(x)