Question

В коробке несколько белых и несколько чёрных шариков. Известно, что наименьшее количество шариков, которые нужно вынуть из коробки наугад так, чтобы среди них обязательно были два одноцветных шарика, совпадает с наименьшим количеством шариков, которые нужно вынуть из коробки наугад так, чтобы среди них обязательно были два разноцветных шарика. Сколько шариков в коробке?

Answer 1

4 шарика (2 белых и 2 черных)

Answer 2

Пусть в коробке $w$ белых шариков и $b$ чёрных шариков. Всего шариков в коробке: $w+b$.

Чтобы среди вынутых наугад шариков обязательно были два одноцветных шарика, нужно вынуть все шарики одного цвета и ещё один шарик другого цвета. Таким образом, чтобы получить два одноцветных шарика, нужно вынуть не менее $2$ шариков, если один цвет шариков присутствует в единственном экземпляре, и не менее $3$ шариков в противном случае.

Аналогично, чтобы среди вынутых наугад шариков обязательно были два разноцветных шарика, нужно вынуть не менее $2$ шариков разных цветов.

Таким образом, для наименьшего количества вынутых шариков, удовлетворяющих условию, должны выполниться одновременно два случая:

1. Нужно вынуть три шарика, причём два из них одного цвета, а третий шарик — другого цвета.

2. Нужно вынуть два шарика, причём они разных цветов.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. В коробке есть два варианта, какой цвет шариков нужно вынуть в тройке: либо два белых и один чёрный, либо два чёрных и один белый. Количество способов выбрать два белых шарика из $w$ белых шариков равно $\binom{w}{2}$, а количество способов выбрать один чёрный шарик из $b$ чёрных шариков равно $\binom{b}{1}$. Аналогично, количество способов выбрать два чёрных шарика из $b$ чёрных шариков и один белый шарик из $w$ белых шариков равно $\binom{b}{2}\binom{w}{1}$. Таким образом, общее количество способов выбрать три шарика, удовлетворяющих условию в первом случае, равно

$$2\left(\binom{w}{2}\binom{b}{1}+\binom{b}{2}\binom{w}{1}\right).$$

2. В коробке есть $wb$ пар разноцветных шариков. Чтобы выбрать два разноцветных шарика, нужно выбрать одну из $wb$ пар и выбрать из каждой пар