Question

Найти интеграл: 1. ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)² 2.вычислите интегралы: а). верху 1 внизу0 ∫dx/(3x+1)⁴ б).верху 1внизу 0 ∫arcsinxdx ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЕ,ОЧЕНЬ СРОЧНО НУЖНО,С ПОЯСНЕНИЕМ

Answer 1

$1)\; \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{(5x^4+2)^2}}=[t=5x^4+2,\; dt=20x^3\, dx\; \to \; x^3\, dx=\frac{dt}{20}\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{5x^4+2}+C\\\\2a)\; \int _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=[\, t=3x+1,\; dt=3\, dx\; \to \; dx=\frac{dt}{3},\;\\\\ t_1=3\cdot 1+1=4\; ,\; t_2=3\cdot 0+1=1\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int _1^4\, t^{-4}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C=$

$=-\frac{1}{9(3x+1)^3}+C\\\\2b)\; \int_0^1arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx\, |_0^1-\int _0^1\frac{x\; dx}{\sqrt{1-x^2}}=(1\cdot arcsin1-0)+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\, |_0^1=\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1$

Answer 2

1. Вычисление интеграла ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)²:

Для решения данного интеграла необходимо применить замену переменной. Обозначим 5x⁴+2 = t. Тогда, 20x³ dx = dt, или dx = dt/20x³. Подставляя данную замену в исходный интеграл, получим:

∫ x³dx/³√(5x⁴+2)² = ∫ dt/(20x⁶ * ³√t²) = 1/20 ∫ dt/t^(5/6)

Теперь интеграл имеет вид степенной функции, поэтому мы можем использовать формулу для интегрирования степенных функций:

∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Применяя данную формулу, получаем:

1/20 ∫ dt/t^(5/6) = 1/20 * 6t^(1/6) + C = 3/10 (5x⁴+2)^(1/6) + C

Таким образом, ответ на задачу равен 3/10 (5x⁴+2)^(1/6) + C.

2. Вычисление интегралов:

а). ∫dx/(3x+1)⁴:

Для решения данного интеграла необходимо применить замену переменной. Обозначим 3x+1 = t. Тогда, 3dx = dt, или dx = dt/3. Подставляя данную замену в исходный интеграл, получим:

∫dx/(3x+1)⁴ = (1/3) ∫dt/t⁴

Теперь интеграл имеет вид степенной функции, поэтому мы можем использовать формулу для интегрирования степенных функций:

∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Применяя данную формулу, получаем:

(1/3) ∫dt/t⁴ = -(1/9) t^(-3) + C = -(1/9) (3x+1)^(-3) + C

Таким образом, ответ на задачу равен -(1/9) (3x+1)^(-3) + C.

б). ∫arcsinxdx:

Для решения данного интеграла можно применить метод интегрирования по частям. Обозначим u = arcsin(x), dv = dx. Тогда, du/dx = 1/√(1-x²), v = x. Подставляя данные значения в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫arcsinxdx = xarcsin(x) - ∫x