Question

Решите уравнение 3 cos x - 2 sin^2 x= 0

Answer 1

Заменяем sin^2x на 1-cos^2х
3cosx-2(1-cos^2x)=0
3cosx-2+2cos^2x=0
Записываем в виде квадратного уравнения и представляем cosx=t
2t^2+3t-2=0
D=9+16=25
t1=-2
t2=1/2
ВКЗ
1) cosx=-2
нет решений, так как -2 не принадлежит [-1;1]
2) cosx=1/2
х=плюсминус*arccos1/2+2pk, k принадлежит Z
x=плюсминус*p/3+2pk, k принадлежит Z

Answer 2

Давайте решим уравнение 3cos(x) - 2sin^2(x) = 0.

Перепишем sin^2(x) как 1 - cos^2(x):

3cos(x) - 2(1 - cos^2(x)) = 0

Распишем скобки и приведем подобные слагаемые:

3cos(x) - 2 + 2cos^2(x) = 0

Упорядочим слагаемые:

2cos^2(x) + 3cos(x) - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем ввести замену, чтобы упростить его. Пусть t = cos(x), тогда уравнение примет вид:

2t^2 + 3t - 2 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(2t - 1)(t + 2) = 0

Получаем два возможных значения для t:

2t - 1 = 0 => t = 1/2

t + 2 = 0 => t = -2

Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим найденные значения для t (cos(x)):

cos(x) = 1/2 или cos(x) = -2

Для первого уравнения cos(x) = 1/2, существует два основных значения угла, которые удовлетворяют этому условию: x = π/3 и x = 5π/3. Однако, косинус является периодической функцией, и мы можем добавить к этим значениям целое число полных оборотов (2π) для получения бесконечного набора решений. Таким образом, общее решение для cos(x) = 1/2 будет:

x = π/3 + 2πn, где n - целое число

Для второго уравнения cos(x) = -2 нет решений в действительных числах, поскольку значения косинуса ограничены от -1 до 1. Значит, уравнение 3cos(x) - 2sin^2(x) = 0 не имеет решений при cos(x) = -2.

Итак, общее решение уравнения 3cos(x) - 2sin^2(x) = 0 будет:

x = π/3 + 2πn, где n - целое число