Question

Поверхность пруда постепенно закрывается вырастающими в нем кувшинками. За каждый день покрытая кувшинками площадь увеличивается вдвое. Вся поверхность пруда закрывается за 360 часов. За сколько часов пруд зарастает кувшинками наполовину?

Answer 1

360: 2 =180 часов
ответ за 180 часов

Answer 2

Пусть $S$ - начальная площадь поверхности пруда, а $t$ - количество часов, за которое площадь поверхности пруда, покрытая кувшинками, увеличится вдвое.

После первого дня, площадь поверхности, покрытая кувшинками, станет равной $2S$, после второго дня - $4S$, после третьего дня - $8S$, и так далее. Таким образом, площадь поверхности пруда, покрытая кувшинками, после $n$ дней будет равна $S \cdot 2^n$.

Мы знаем, что за 360 часов вся поверхность пруда будет покрыта кувшинками. Это означает, что:

$S \cdot 2^k = S_{total}$

где $k$ - количество дней, за которое вся поверхность пруда будет покрыта кувшинками, а $S_{total}$ - общая площадь поверхности пруда.

Так как мы ищем время, за которое пруд зарастет кувшинками наполовину, то мы можем записать:

$S \cdot 2^{k/2} = \frac{S_{total}}{2}$

Решая эти два уравнения относительно $k$, получаем:

$k = \frac{\log_2(S_{total})}{\log_2(2)} = \log_2(S_{total})$

и

$k/2 = \frac{\log_2(S_{total}) - \log_2(2S)}{\log_2(2)} = \log_2(S_{total}) - 1$

Таким образом, время, за которое пруд зарастет кувшинками наполовину, будет равно:

$t = (k/2) \cdot 24 = 24(\log_2(S_{total}) - 1)$

Подставляя $S_{total} = S \cdot 2^{\frac{360}{24}} = 64S$ (из первого уравнения), получаем:

$t = 24(\log_2(64S) - 1) = 24(\log_2(S) + 5)$

Таким образом, пруд зарастет кувшинками наполовину через $24(\log_2(S) + 5)$ часов.