Question

Решите уравнение lg(x-1)+lg(x+1)=lg8+lg(x-2); log ^2 x по осн.2+log x по осн.2-2=0

Answer 1

Lg(x-1)+lg(x+1)=lg8+lg(x-2)
ОДЗ:x-1>0 x>1
x+1>0 x>-1
x-2>0 x>2
x∈(2;+∞)
lg(x²-1)=lg(8x-16)
x²-1=8x-16
x²-8x+15=0
D=64-60=4;√D=2
x1=8+2/2=5
x2=8-2/2=3
     Ответ:3;5
log²₂x+log₂x-2=0
ОДЗ:x>0
log₂x=t
t²+t-2=0
x1=-2
x2=1
 -2 не удовлетворяет ОДЗ
Ответ:1

Answer 2

Решим первое уравнение:

lg(x-1) + lg(x+1) = lg8 + lg(x-2)

Применяем свойства логарифмов:

lg[(x-1)(x+1)/(x-2)] = lg8

Сокращаем lg с обеих сторон:

(x-1)(x+1)/(x-2) = 8

Раскрываем скобки:

x^2 - 1 / (x-2) = 8

Переносим все в левую часть:

x^2 - 8(x-2) - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение:

x = [8 ± √(64+4)] / 2 = [8 ± 6√2] / 2 = 4 ± 3√2

Однако, чтобы логарифмы были определены, необходимо чтобы аргументы логарифмов были положительны, т.е.

x-1 > 0 -> x > 1 x+1 > 0 -> x > -1 x-2 > 0 -> x > 2

Таким образом, корнем уравнения будет только x = 4 + 3√2.

Теперь решим второе уравнение:

log^2(x) + log(x) - 2 = 0

Заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной log(x), поэтому применим формулу для решения квадратного уравнения:

log(x) = [-1 ± √(1+8)] / 2 = [-1 ± 3] / 2

Таким образом, получаем два значения для log(x):

log(x) = -2 или log(x) = 1

Переводим эти значения обратно в значения x:

x = 2^(-2) = 1/4 или x = 2^(1) = 2

Проверяем оба значения в исходном уравнении:

для x = 1/4: log^2(1/4) + log(1/4) - 2 = (-2)^2 - 1 - 2 = -1 < 0 (неверно) для x = 2: log^2(2) + log(2) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 < 0 (неверно)

Таким образом, уравнение не имеет решений.